segunda-feira, 20 de outubro de 2008
terça-feira, 29 de abril de 2008
BRINCADEIRA
Nova matemática simplificada
Matemática no Romance
Homem esperto + mulher esperta = romance.
Homem esperto + mulher estúpida = caso
Homem estúpido + mulher esperta = casamento
Homem estúpido + mulher estúpida = gravidez
Aritmética no trabalho
Patrão esperto + empregado esperto = lucro
Patrão esperto + empregado estúpido = produção
Patrão estúpido + empregado esperto = promoção
Patrão estúpido + empregado estúpido = horas extra
A matemática das compras
Um homem paga 2 contos por algo que necessita e que custa 1.
Uma mulher paga 1 conto por algo que não necessita e que custa 2.
Equações e Estatísticas Gerais
Uma mulher preocupa-se com o futuro até que arranja marido.
Um homem nunca se preocupa com o futuro até que arranja mulher.
Um homem de sucesso é aquele que consegue ganhar mais dinheiro do que o que a sua mulher gasta.
A mulher de sucesso é aquela que consegue encontrar um marido assim.
Matemática no Romance
Homem esperto + mulher esperta = romance.
Homem esperto + mulher estúpida = caso
Homem estúpido + mulher esperta = casamento
Homem estúpido + mulher estúpida = gravidez
Aritmética no trabalho
Patrão esperto + empregado esperto = lucro
Patrão esperto + empregado estúpido = produção
Patrão estúpido + empregado esperto = promoção
Patrão estúpido + empregado estúpido = horas extra
A matemática das compras
Um homem paga 2 contos por algo que necessita e que custa 1.
Uma mulher paga 1 conto por algo que não necessita e que custa 2.
Equações e Estatísticas Gerais
Uma mulher preocupa-se com o futuro até que arranja marido.
Um homem nunca se preocupa com o futuro até que arranja mulher.
Um homem de sucesso é aquele que consegue ganhar mais dinheiro do que o que a sua mulher gasta.
A mulher de sucesso é aquela que consegue encontrar um marido assim.
MEDIDAS
MEDIDAS
UM POUCO DE HISTÓRIA
Os sistemas de Pesos e Medidas são o resultado de uma evolução gradual sujeita a muitas influências.
É difícil, portanto, estabelecer um percurso lógico e claro para o seu aparecimento
Contar, foi talvez a forma mais primitiva de medir. As comunidades pré-históricas utilizavam as unidades dos seus produtos principais para se exprimirem nas trocas. Por exemplo: um agricultor avaliava (media) uma ovelha em "mãos cheias de trigo" ou outro grão das suas produções.
O sistema de medida por unidades de troca durou milénios.
O desenvolvimento e aplicação de medidas lineares - antes do aparecimento das de peso e capacidade - apareceram entre 10.000 e 8.000 anos AC. As unidades de medida nesses tempos baseavam-se na comparação com objetos naturais. Depois começaram a utilizar-se algumas dimensões do corpo humano como padrão de medidas lineares. Por exemplo: os egípcios chamavam à distância entre o cotovelo e a extremidade do dedo médio: Braça.
Entretanto, alguns povos, perceberam-se de que havia alguma uniformidade entre os pesos de algumas sementes e grãos e assim tomaram-os para bitolas de peso. Por exemplo: o Carat - ainda hoje usado pelos joalheiros modernos - resultou do peso da semente de alfarroba; ou o Grão - ainda usado como unidade de peso - tem origem no peso das sementes do trigo ou da cevada.
A diversidade de todos estes métodos de medida levaram a que as sociedades primitivas, ao tornarem-se mais sofisticadas, tivessem a necessidade de normalizar os seus Sistemas de Pesos e Medidas.
NO EGIPTO
Provavelmente a mais antiga medida linear usada pelos egípcios, babilônios e hebreus, foi a braça. De origem incerta: ou talvez como a tal distância entre o cotovelo e a extremidade do dedo médio.
Os egípcios tinham dois tipos de Braça:
A Braça Curta com 17,7 polegadas = 0,45 mts.
A Braça Real com 20,6 polegadas = 0,524 mts
A Braça Real era dividida em 7 Palmos e cada Palmo em 4 Dedos (com a largura do dedo médio)
É curioso que a Braça, ainda hoje é usada na marinharia como medida de comprimento para designar profundidades, ou cabos e linhas dos aprestos marítimos.
NA GRÉCIA E ROMA
Os gregos adaptaram alguns padrões dos sistemas desenvolvidos pelos egípcios e babilônios mas introduziram uma nova unidade:
O Pé (Foot), dividido em 12 unidades designadas por Polegadas (Inches).
Os romanos adaptaram o Pé (Foot) dividido em 12 Polegadas (Inches) para medida de comprimento.
Para o sistema de pesos criaram a Onça (Oz) como a menor unidade. Depois:
- Num sistema: 16 Oz = 1 Poud (Libra)
- Noutro sistema: 1 Poud (Libra) = 12 Oz
NA IDADE MÉDIA
No obscurantismo da Idade Média quase todos os sistemas de medidas desapareceram ou não eram usados. Cada Cidade, Território ou Província usava as suas medidas com os conseqüentes erros, fraudes e enganos nos mercados.
No Século XIV os mercadores ingleses estabeleceram o seu sistema de pesos baseado na Libra (Lb) = 7.000 Grãos (Gr) = 16 Onças (Oz) que ainda hoje é empregue em muitos países de expressão inglesa.
No Século XV um outro sistema foi estabelecido: a Onça Troy (Oz troy) = 480 Grãos (Gr) = 12 Onças da Libra.
O SISTEMA MÉTRICO
A criação do Sistema Métrico Decimal foi um importante contributo da Revolução Francesa.
Baseia-se em múltiplos de 10.
A sua unidade básica é o Metro; inicialmente definido como a décima milionésima parte do comprimento do meridiano terrestre entre os paralelos de Dunkerque e Barcelona (cerca de 1/4).
Entre 1960 e 1983 foi redefinido como o comprimento de onda do isótopos 86 do Krypton; e em 1983 voltou a ser redefinido como o comprimento do percurso efetuado pela luz, no vácuo, em 1/299.792.458 segundos: medida que é reproduzível em laboratório.
Hoje, o sistema métrico decimal é universalmente aceite, incluindo o Reino Unido depois da adesão à União Européia.
Os Estados Unidos (USA) por inércia ou pela importância da sua economia ainda não sentiram a necessidade de adaptar este sistema.
Em 1960, a 10ª Conferência Internacional de Pesos e Medidas adotou o International System of Units (SI).
Este sistema é baseado em sete unidades de medida:
- O Metro para unidade de comprimento (m);
- O Kilograma para unidade de massa (kg);
- O Segundo para unidade de tempo (s);
- O Kelvin para unidade de temperatura termodinâmica (K);
- A Candela para unidade de intensidade luminosa ((cd);
- O Ampère como unidade elétrica (A);
- O Mole para a quantidade de substância (mol).
UM POUCO DE HISTÓRIA
Os sistemas de Pesos e Medidas são o resultado de uma evolução gradual sujeita a muitas influências.
É difícil, portanto, estabelecer um percurso lógico e claro para o seu aparecimento
Contar, foi talvez a forma mais primitiva de medir. As comunidades pré-históricas utilizavam as unidades dos seus produtos principais para se exprimirem nas trocas. Por exemplo: um agricultor avaliava (media) uma ovelha em "mãos cheias de trigo" ou outro grão das suas produções.
O sistema de medida por unidades de troca durou milénios.
O desenvolvimento e aplicação de medidas lineares - antes do aparecimento das de peso e capacidade - apareceram entre 10.000 e 8.000 anos AC. As unidades de medida nesses tempos baseavam-se na comparação com objetos naturais. Depois começaram a utilizar-se algumas dimensões do corpo humano como padrão de medidas lineares. Por exemplo: os egípcios chamavam à distância entre o cotovelo e a extremidade do dedo médio: Braça.
Entretanto, alguns povos, perceberam-se de que havia alguma uniformidade entre os pesos de algumas sementes e grãos e assim tomaram-os para bitolas de peso. Por exemplo: o Carat - ainda hoje usado pelos joalheiros modernos - resultou do peso da semente de alfarroba; ou o Grão - ainda usado como unidade de peso - tem origem no peso das sementes do trigo ou da cevada.
A diversidade de todos estes métodos de medida levaram a que as sociedades primitivas, ao tornarem-se mais sofisticadas, tivessem a necessidade de normalizar os seus Sistemas de Pesos e Medidas.
NO EGIPTO
Provavelmente a mais antiga medida linear usada pelos egípcios, babilônios e hebreus, foi a braça. De origem incerta: ou talvez como a tal distância entre o cotovelo e a extremidade do dedo médio.
Os egípcios tinham dois tipos de Braça:
A Braça Curta com 17,7 polegadas = 0,45 mts.
A Braça Real com 20,6 polegadas = 0,524 mts
A Braça Real era dividida em 7 Palmos e cada Palmo em 4 Dedos (com a largura do dedo médio)
É curioso que a Braça, ainda hoje é usada na marinharia como medida de comprimento para designar profundidades, ou cabos e linhas dos aprestos marítimos.
NA GRÉCIA E ROMA
Os gregos adaptaram alguns padrões dos sistemas desenvolvidos pelos egípcios e babilônios mas introduziram uma nova unidade:
O Pé (Foot), dividido em 12 unidades designadas por Polegadas (Inches).
Os romanos adaptaram o Pé (Foot) dividido em 12 Polegadas (Inches) para medida de comprimento.
Para o sistema de pesos criaram a Onça (Oz) como a menor unidade. Depois:
- Num sistema: 16 Oz = 1 Poud (Libra)
- Noutro sistema: 1 Poud (Libra) = 12 Oz
NA IDADE MÉDIA
No obscurantismo da Idade Média quase todos os sistemas de medidas desapareceram ou não eram usados. Cada Cidade, Território ou Província usava as suas medidas com os conseqüentes erros, fraudes e enganos nos mercados.
No Século XIV os mercadores ingleses estabeleceram o seu sistema de pesos baseado na Libra (Lb) = 7.000 Grãos (Gr) = 16 Onças (Oz) que ainda hoje é empregue em muitos países de expressão inglesa.
No Século XV um outro sistema foi estabelecido: a Onça Troy (Oz troy) = 480 Grãos (Gr) = 12 Onças da Libra.
O SISTEMA MÉTRICO
A criação do Sistema Métrico Decimal foi um importante contributo da Revolução Francesa.
Baseia-se em múltiplos de 10.
A sua unidade básica é o Metro; inicialmente definido como a décima milionésima parte do comprimento do meridiano terrestre entre os paralelos de Dunkerque e Barcelona (cerca de 1/4).
Entre 1960 e 1983 foi redefinido como o comprimento de onda do isótopos 86 do Krypton; e em 1983 voltou a ser redefinido como o comprimento do percurso efetuado pela luz, no vácuo, em 1/299.792.458 segundos: medida que é reproduzível em laboratório.
Hoje, o sistema métrico decimal é universalmente aceite, incluindo o Reino Unido depois da adesão à União Européia.
Os Estados Unidos (USA) por inércia ou pela importância da sua economia ainda não sentiram a necessidade de adaptar este sistema.
Em 1960, a 10ª Conferência Internacional de Pesos e Medidas adotou o International System of Units (SI).
Este sistema é baseado em sete unidades de medida:
- O Metro para unidade de comprimento (m);
- O Kilograma para unidade de massa (kg);
- O Segundo para unidade de tempo (s);
- O Kelvin para unidade de temperatura termodinâmica (K);
- A Candela para unidade de intensidade luminosa ((cd);
- O Ampère como unidade elétrica (A);
- O Mole para a quantidade de substância (mol).
ORIGEM DOS SINAIS
ORIGEM DOS SINAIS
Adição ( + ) e subtração ( - )
O emprego regular do sinal + ( mais ) aparece na Aritmética Comercial de João Widman d'Eger publicada em Leipzig em 1489.
Entretanto, representavam não à adição ou à subtração ou aos números positivos ou negativos, mas aos excessos e aos déficit em problemas de negócio (Cajori vol. 1, página 128).
Os símbolos positivos e negativos vieram somente ter uso geral na Inglaterra depois que foram usados por Robert Recorde em 1557 .
Os símbolos positivos e negativos foram usados antes de aparecerem na escrita. Por exemplo: foram pintados em tambores para indicar se os tambores estavam cheios ou não
Os antigos matemáticos gregos, como se observa na obra de Diofanto, limitavam-se a indicar a adição juntapondo as parcelas - sistema que ainda hoje adotamos quando queremos indicar a soma de um número inteiro com uma fração. Como sinal de operação mais usavam os algebristas italianos a letra P, inicial da palavra latina plus
Multiplicação ( . ) e divisão ( : )
O sinal de X, como que indicamos a multiplicação, é relativamente moderno. O matemático inglês Guilherme Oughtred empregou-o pela primeira vez, no livro Clavis Matematicae publicado em 1631. Ainda nesse mesmo ano, Harriot, para indicar também o produto a efetuar, colocava um ponto entre os fatores.
Em 1637, Descartes já se limitava a escrever os fatores justapostos, indicando, desse modo abreviado, um produto qualquer. Na obra de Leibniz escontra-se o sinal para indicar multiplicação: esse mesmo símbolo colocado de modo inverso indicava a divisão.
O ponto foi introduzido como um símbolo para a multiplicação por G. W. Leibniz. Julho em 29, 1698, escreveu em uma carta a John Bernoulli: " eu não gosto de X como um símbolo para a multiplicação, porque é confundida facilmente com x; freqüentemente eu relaciono o produto entre duas quantidades por um ponto . Daí, ao designar a relação uso não um ponto mas dois pontos, que eu uso também para a divisão. "
As formas a/b e , indicando a divisão de a por b, são atribuídas aos árabes: Oughtred, e, 1631, colocava um ponto entre o dividendo o divisor.
A razão entre duas quantidades é indicada pelo sinal:, que apareceu em 1657 numa obra de Oughtred. O sinal , segundo Rouse Ball, resultou de uma combinação de dois sinais existentes - e :
Sinais de relação ( =, < e > )
Roberto Record, matemático inglês, terá sempre o seu nome apontado na história da Matemática por ter sido o primeiro a empregar o sinal = ( igual ) para indicar igualdade. No seu primeiro livro, publicado em 1540, Record colocava o símbolo entre duas expressões iguais; o sinal = ; constituído por dois pequenos traços paralelos, só apareceu em 1557. Comentam alguns autores que nos manuscritos da Idade Média o sinal = aparece como uma abreviatura da palavra est.
Guilherme Xulander, matemático alemão, indicava a igualdade , em fins do século XVI, por dois pequenos traços paralelos verticais; até então a palavra aequalis aparecia, por extenso, ligando os dois membros da igualdade.
Os sinais > ( maior que ) e < ( menor que ) são devidos a Thomaz Harriot, que muito contribuiu com seus trabalhos para o desenvolvimento da análise algébrica.
Adição ( + ) e subtração ( - )
O emprego regular do sinal + ( mais ) aparece na Aritmética Comercial de João Widman d'Eger publicada em Leipzig em 1489.
Entretanto, representavam não à adição ou à subtração ou aos números positivos ou negativos, mas aos excessos e aos déficit em problemas de negócio (Cajori vol. 1, página 128).
Os símbolos positivos e negativos vieram somente ter uso geral na Inglaterra depois que foram usados por Robert Recorde em 1557 .
Os símbolos positivos e negativos foram usados antes de aparecerem na escrita. Por exemplo: foram pintados em tambores para indicar se os tambores estavam cheios ou não
Os antigos matemáticos gregos, como se observa na obra de Diofanto, limitavam-se a indicar a adição juntapondo as parcelas - sistema que ainda hoje adotamos quando queremos indicar a soma de um número inteiro com uma fração. Como sinal de operação mais usavam os algebristas italianos a letra P, inicial da palavra latina plus
Multiplicação ( . ) e divisão ( : )
O sinal de X, como que indicamos a multiplicação, é relativamente moderno. O matemático inglês Guilherme Oughtred empregou-o pela primeira vez, no livro Clavis Matematicae publicado em 1631. Ainda nesse mesmo ano, Harriot, para indicar também o produto a efetuar, colocava um ponto entre os fatores.
Em 1637, Descartes já se limitava a escrever os fatores justapostos, indicando, desse modo abreviado, um produto qualquer. Na obra de Leibniz escontra-se o sinal para indicar multiplicação: esse mesmo símbolo colocado de modo inverso indicava a divisão.
O ponto foi introduzido como um símbolo para a multiplicação por G. W. Leibniz. Julho em 29, 1698, escreveu em uma carta a John Bernoulli: " eu não gosto de X como um símbolo para a multiplicação, porque é confundida facilmente com x; freqüentemente eu relaciono o produto entre duas quantidades por um ponto . Daí, ao designar a relação uso não um ponto mas dois pontos, que eu uso também para a divisão. "
As formas a/b e , indicando a divisão de a por b, são atribuídas aos árabes: Oughtred, e, 1631, colocava um ponto entre o dividendo o divisor.
A razão entre duas quantidades é indicada pelo sinal:, que apareceu em 1657 numa obra de Oughtred. O sinal , segundo Rouse Ball, resultou de uma combinação de dois sinais existentes - e :
Sinais de relação ( =, < e > )
Roberto Record, matemático inglês, terá sempre o seu nome apontado na história da Matemática por ter sido o primeiro a empregar o sinal = ( igual ) para indicar igualdade. No seu primeiro livro, publicado em 1540, Record colocava o símbolo entre duas expressões iguais; o sinal = ; constituído por dois pequenos traços paralelos, só apareceu em 1557. Comentam alguns autores que nos manuscritos da Idade Média o sinal = aparece como uma abreviatura da palavra est.
Guilherme Xulander, matemático alemão, indicava a igualdade , em fins do século XVI, por dois pequenos traços paralelos verticais; até então a palavra aequalis aparecia, por extenso, ligando os dois membros da igualdade.
Os sinais > ( maior que ) e < ( menor que ) são devidos a Thomaz Harriot, que muito contribuiu com seus trabalhos para o desenvolvimento da análise algébrica.
CHARADA DE EINSTEIN
Charada de Einstein
No final do século passado, Einstein propôs um problema que, segundo ele, 98% das pessoas não seriam capazes de resolver.
Há cinco casas de diferentes cores . Em cada casa mora uma pessoa de uma diferente nacionalidade. Os cinco proprietários bebem diferentes bebidas, fumam diferentes tipos de cigarros e têm diferentes animais de estimação. A questão é quem tem um peixe?
O inglês vive na casa vermelha.
O sueco tem cachorros.
O Dinamarquês bebe chã.
A casa verde fica à esquerda da casa branca.
O dono da casa verde bebe café.
O homem que fuma Pau Mali cria pássaros.
O dono da casa amarela fuma Dunhill.
O dono da casa do centro bebe leite.
O norueguês vive na primeira casa.
O homem que fuma Blends vive ao lado do que tem gatos.
O homem que cria cavalos vive ao lado do que fuma Dunhill.
O homem que fuma Bluemaster bebe cerveja.
O alemão fuma Prince.
O norueguês vive ao lado da casa azul.
O homem que fuma Blends é vizinho do que bebe água.
No final do século passado, Einstein propôs um problema que, segundo ele, 98% das pessoas não seriam capazes de resolver.
Há cinco casas de diferentes cores . Em cada casa mora uma pessoa de uma diferente nacionalidade. Os cinco proprietários bebem diferentes bebidas, fumam diferentes tipos de cigarros e têm diferentes animais de estimação. A questão é quem tem um peixe?
O inglês vive na casa vermelha.
O sueco tem cachorros.
O Dinamarquês bebe chã.
A casa verde fica à esquerda da casa branca.
O dono da casa verde bebe café.
O homem que fuma Pau Mali cria pássaros.
O dono da casa amarela fuma Dunhill.
O dono da casa do centro bebe leite.
O norueguês vive na primeira casa.
O homem que fuma Blends vive ao lado do que tem gatos.
O homem que cria cavalos vive ao lado do que fuma Dunhill.
O homem que fuma Bluemaster bebe cerveja.
O alemão fuma Prince.
O norueguês vive ao lado da casa azul.
O homem que fuma Blends é vizinho do que bebe água.
domingo, 23 de março de 2008
Roteiro da AB 9 ANO 1a. ETAPA
1. Estudando médias
2. Potência de um número real com expoente natural
3. Potência de um número real com expoente inteiro negativo
4. Transformando e simplificando uma expressão
5. Raiz enésima de um número real
6. Simplificando radicais: extração de fatores do radicando
7. Adicionando algebricamente dois ou mais radicais
8. Multiplicando e dividindo expressões com radicais de mesmo índice
9. Multiplicando e dividindo expressões com radicais de índices diferentes
10. Potenciação de uma expressão com radicais
11. Racionalizando denominadores de uma expressão fracionária
2. Potência de um número real com expoente natural
3. Potência de um número real com expoente inteiro negativo
4. Transformando e simplificando uma expressão
5. Raiz enésima de um número real
6. Simplificando radicais: extração de fatores do radicando
7. Adicionando algebricamente dois ou mais radicais
8. Multiplicando e dividindo expressões com radicais de mesmo índice
9. Multiplicando e dividindo expressões com radicais de índices diferentes
10. Potenciação de uma expressão com radicais
11. Racionalizando denominadores de uma expressão fracionária
Roteiro da AB 8 ANO 1a. etapa
1. Raiz quadrada exata de um número racional
2. Raiz quadrada aproximada de um número racional
3. Os números racionais e sua representação decimal
4. Os números reais
5. Expressões algébricas ou literais
6. Valor numérico de uma expressão algébrica
7. Monômio ou termo algébrico
8. Polinômios
9. Os produtos notáveis
10. Fatorando polinômios
2. Raiz quadrada aproximada de um número racional
3. Os números racionais e sua representação decimal
4. Os números reais
5. Expressões algébricas ou literais
6. Valor numérico de uma expressão algébrica
7. Monômio ou termo algébrico
8. Polinômios
9. Os produtos notáveis
10. Fatorando polinômios
Roteiro da AB 7 ANO 1a. ETAPA
1. Potência de um número racional
2. Propriedades da potenciação
3. Números quadrados perfeitos
4. Adição de números inteiros
5. Subtração de números inteiros
6. Adição algébrica
7. Multiplicação de números inteiros
8. Divisão de números inteiros
9. Potenciação de números inteiros
10. Raiz quadrada exata de números inteiros
11. Expressões numéricas
2. Propriedades da potenciação
3. Números quadrados perfeitos
4. Adição de números inteiros
5. Subtração de números inteiros
6. Adição algébrica
7. Multiplicação de números inteiros
8. Divisão de números inteiros
9. Potenciação de números inteiros
10. Raiz quadrada exata de números inteiros
11. Expressões numéricas
Roteiro da AB 6 ANO 1a. ETAPA
1. Operações fundamentais
2. Resolvendo problemas
3. Potenciação de números naturais
4. Noção de divisibilidade
5. Critérios de divisibilidade
6. Divisores,, fatores e múltiplos de um números natural
7. Números primos
8. Decomposição em fatores primos
9. Maximo divisor comum
10. Mínimo múltiplo comum
2. Resolvendo problemas
3. Potenciação de números naturais
4. Noção de divisibilidade
5. Critérios de divisibilidade
6. Divisores,, fatores e múltiplos de um números natural
7. Números primos
8. Decomposição em fatores primos
9. Maximo divisor comum
10. Mínimo múltiplo comum
MA 9 ANO
Exercícios de MA 9 ano
Página 13
Página 17
Página 28
Página 32
Páginas 36 e 37
Páginas 42 e 44
Páginas 46 e 51
Páginas 60 e 61
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Páginas 36 e 37
Páginas 42 e 44
Páginas 46 e 51
Páginas 60 e 61
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MA 8 ANO
Exercícios de MA 8 ano
Páginas 14 e 15
Página 17
Página 20
Páginas 25 e 29
Página 31
Páginas 34 e 38
Páginas 41 e 42
Páginas 44 e 45
Página 47
Páginas 49 e 50
Páginas 14 e 15
Página 17
Página 20
Páginas 25 e 29
Página 31
Páginas 34 e 38
Páginas 41 e 42
Páginas 44 e 45
Página 47
Páginas 49 e 50
MA 7 ANO
Exercícios de MA 7 ano
Páginas 10 e 11
Página 16
Página 21
Páginas 24 e 27
Páginas 34 e 37
Página 40
Página 44
Páginas 53 e 54
Página 58
Páginas 62 e 63
Páginas 10 e 11
Página 16
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Páginas 24 e 27
Páginas 34 e 37
Página 40
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Páginas 53 e 54
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Páginas 62 e 63
MA 6 ANO
Exercícios de MA 6 ano
Páginas 19 e 20
Páginas 26 e 27
Página 39
Páginas 44 e 45
Página 48
Página 55
Páginas 68 e 69
Páginas 70 e 71
Página 72
Páginas 79 e 80
Páginas 19 e 20
Páginas 26 e 27
Página 39
Páginas 44 e 45
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Páginas 68 e 69
Páginas 70 e 71
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Páginas 79 e 80
quarta-feira, 12 de março de 2008
A verdadeira história da Fórmula de Bhaskara
As referências mais antigas sobre a resolução de problemas envolvendo equações do segundo grau foram encontradas em textos babilônicos escritos há cerca de 4 000 anos atrás.
Embora os babilônios tivessem conseguido resolver muitos problemas matemáticos envolvendo equações quadráticas, cada problema era resolvido para aquele caso particular e sua solução era uma espécie de receita prática, que não especificava nem a sua fórmula geral (se houvesse), nem o modo como a solução tinha sido obtida. Embora essas “receitas” , quando aplicadas a problemas do segundo grau, conduzissem de forma natural à dedução da fórmula de Bhaskara, os antigos babilônios não chegaram a generalizar tais “receitas”.
Na Grécia, as equações de segundo grau eram resolvidas por meio de construções geométricas como iremos ver num exercício que ilustra o método geométrico utilizado por Euclides para achar a solução da equação x2 = s2 - sx.
No século XII D.C., Bhaskara (1114-1185), em duas das suas obras, apresenta e resolve diversos problemas do segundo grau. Antes de Bhaskara, no princípio do século IX D.C., o matemático árabe Al-Kowarismi, influenciado pela álgebra geométrica dos gregos, resolveu, metodicamente, as equações do segundo grau, chegando à fórmula do modo descrito a seguir.
Al-Kowarismi interpretava, geometricamente, o lado esquerdo da equação x2 + px = q como sendo uma cruz constituída por um quadrado de lado x e por quatro rectângulos de lados p/4 e x. Então, como mostra a figura abaixo, “completava” esta cruz com os quatros quadrados pontilhados de lado p/4, para obter um “quadrado perfeito” de lado x + p/2..
Usando este artifício geométrico, Al-Kowarismi demonstrou que adicionando-se 4 vezes p2/16 , soma das áreas dos quatros quadrados de lado p/4 , ao lado esquerdo da equação x2 + px = q, obtinha-se (x + p/2)2, que é a área do quadrado de lado x + p/2 , isto é,x2 + px + 4 p2/16 = (x + p/2)2 .
Portanto, a equação x2 + px = q poderia ser escrita como (x + p/2)2 = q + p2/4 implicando que x = -p/2 ± , que é a fórmula de Bhaskara.
A descoberta de que um trinômio do segundo grau tem para imagem uma parábola, remonta à Antiguidade. As primeiras referências a respeito encontram-se nos trabalhos do matemático grego Menaecamus ( 375-325 A.C. ), que obteve a parábola seccionando um cone circular reto por um plano não paralelo à base. Pode-se provar que a curva assim obtida é a imagem de uma equação do tipo y = ax2, como mostra a figura abaixo.
Embora os babilônios tivessem conseguido resolver muitos problemas matemáticos envolvendo equações quadráticas, cada problema era resolvido para aquele caso particular e sua solução era uma espécie de receita prática, que não especificava nem a sua fórmula geral (se houvesse), nem o modo como a solução tinha sido obtida. Embora essas “receitas” , quando aplicadas a problemas do segundo grau, conduzissem de forma natural à dedução da fórmula de Bhaskara, os antigos babilônios não chegaram a generalizar tais “receitas”.
Na Grécia, as equações de segundo grau eram resolvidas por meio de construções geométricas como iremos ver num exercício que ilustra o método geométrico utilizado por Euclides para achar a solução da equação x2 = s2 - sx.
No século XII D.C., Bhaskara (1114-1185), em duas das suas obras, apresenta e resolve diversos problemas do segundo grau. Antes de Bhaskara, no princípio do século IX D.C., o matemático árabe Al-Kowarismi, influenciado pela álgebra geométrica dos gregos, resolveu, metodicamente, as equações do segundo grau, chegando à fórmula do modo descrito a seguir.
Al-Kowarismi interpretava, geometricamente, o lado esquerdo da equação x2 + px = q como sendo uma cruz constituída por um quadrado de lado x e por quatro rectângulos de lados p/4 e x. Então, como mostra a figura abaixo, “completava” esta cruz com os quatros quadrados pontilhados de lado p/4, para obter um “quadrado perfeito” de lado x + p/2..
Usando este artifício geométrico, Al-Kowarismi demonstrou que adicionando-se 4 vezes p2/16 , soma das áreas dos quatros quadrados de lado p/4 , ao lado esquerdo da equação x2 + px = q, obtinha-se (x + p/2)2, que é a área do quadrado de lado x + p/2 , isto é,x2 + px + 4 p2/16 = (x + p/2)2 .
Portanto, a equação x2 + px = q poderia ser escrita como (x + p/2)2 = q + p2/4 implicando que x = -p/2 ± , que é a fórmula de Bhaskara.
A descoberta de que um trinômio do segundo grau tem para imagem uma parábola, remonta à Antiguidade. As primeiras referências a respeito encontram-se nos trabalhos do matemático grego Menaecamus ( 375-325 A.C. ), que obteve a parábola seccionando um cone circular reto por um plano não paralelo à base. Pode-se provar que a curva assim obtida é a imagem de uma equação do tipo y = ax2, como mostra a figura abaixo.
Gauss:mais que um matemático
Karl Friedrich Gauss- o Gênio
Desde a idade média, tem-se conhecimento de Gauss, mas o que poucos sabem, é que Gauss foi muito mais do que uma matemático, aí vão alguns dados pessoais dele:
Nasceu a: 30 de abril de 1777, em Brunswich, na Alemanha.
Morreu a: 23 de Fevereiro de 1855, em Göttingen, na Alemanha.
Filho de um trabalhador à jorna, foi criado no seio de uma família pobre, austera e sem educação. Dadas às precárias condições econômicas da sua família, recebeu o precioso apoio do Duque de Brunswich que reconheceu nele uma criança-prodígio. Este apoio começou quando Gauss tinha 14 anos e permitiu-lhe dedicar-se exclusivamente aos estudos, durante 16 anos.
Ainda antes do seu vigésimo quinto aniversário, já Gauss era famoso pelo seu trabalho em Matemática e Astronomia. Aos 30 anos foi nomeado Diretor do Observatório de para Göttingen, cidade da qual raramente saiu, exceto por questões científicas. Aí, trabalhou durante 48 anos (de 1807 a 1855) até à sua morte, com quase 78 anos.
A vida pessoal de Gauss foi trágica e complicada. Um pai insensível, a morte prematura da sua primeira mulher, a pouca saúde da sua segunda mulher e uma terrível relação com os seus filhos negou-lhe, até tarde, a possibilidade de vida estável no seio de uma família equilibrada.
Mesmo com todos estes problemas, Gauss manteve uma rica, e espantosa atividade científica. A sua precoce paixão pelos números e cálculos estendeu-se à Teoria dos Números, à Álgebra, à Análise, à Geometria, à teoria das Probabilidades e à Teoria dos Erros. Ao mesmo tempo, levou em frente uma intensiva pesquisa empírica e teórica em muitos outros ramos, incluindo Astronomia Observacional, Mecânica Celeste, levantamento topográfico, Geodésica, Geomagnetismo, Eletromagnetismo e Mecanismos Ópticos.
Gauss não encontrou nenhum colaborador entre os seus colegas matemáticos tendo trabalhado sempre sozinho. Mas, se é verdade que o seu isolamento relativo, a sua compreensão das matemáticas “puras” e “aplicadas”, a sua preocupação com a astronomia e o uso freqüente que faz do latim têm a marca do século XVIII, é inegável que, nos seus trabalhos, se reflete o espírito de um novo período. Se, tal como os seus contemporâneos Kant, Goethe, Beethoven e Hegel, se manteve à margem das grandes lutas políticas da sua época, a verdade é que, no seu próprio campo, Gauss expressou as novas idéias da sua época de uma forma poderosíssima.
As suas publicações, a sua abundante correspondência, as suas notas, e os seus manuscritos mostram que ele possuía uma das maiores virtuosidades científico de todos os tempos.
Desde a idade média, tem-se conhecimento de Gauss, mas o que poucos sabem, é que Gauss foi muito mais do que uma matemático, aí vão alguns dados pessoais dele:
Nasceu a: 30 de abril de 1777, em Brunswich, na Alemanha.
Morreu a: 23 de Fevereiro de 1855, em Göttingen, na Alemanha.
Filho de um trabalhador à jorna, foi criado no seio de uma família pobre, austera e sem educação. Dadas às precárias condições econômicas da sua família, recebeu o precioso apoio do Duque de Brunswich que reconheceu nele uma criança-prodígio. Este apoio começou quando Gauss tinha 14 anos e permitiu-lhe dedicar-se exclusivamente aos estudos, durante 16 anos.
Ainda antes do seu vigésimo quinto aniversário, já Gauss era famoso pelo seu trabalho em Matemática e Astronomia. Aos 30 anos foi nomeado Diretor do Observatório de para Göttingen, cidade da qual raramente saiu, exceto por questões científicas. Aí, trabalhou durante 48 anos (de 1807 a 1855) até à sua morte, com quase 78 anos.
A vida pessoal de Gauss foi trágica e complicada. Um pai insensível, a morte prematura da sua primeira mulher, a pouca saúde da sua segunda mulher e uma terrível relação com os seus filhos negou-lhe, até tarde, a possibilidade de vida estável no seio de uma família equilibrada.
Mesmo com todos estes problemas, Gauss manteve uma rica, e espantosa atividade científica. A sua precoce paixão pelos números e cálculos estendeu-se à Teoria dos Números, à Álgebra, à Análise, à Geometria, à teoria das Probabilidades e à Teoria dos Erros. Ao mesmo tempo, levou em frente uma intensiva pesquisa empírica e teórica em muitos outros ramos, incluindo Astronomia Observacional, Mecânica Celeste, levantamento topográfico, Geodésica, Geomagnetismo, Eletromagnetismo e Mecanismos Ópticos.
Gauss não encontrou nenhum colaborador entre os seus colegas matemáticos tendo trabalhado sempre sozinho. Mas, se é verdade que o seu isolamento relativo, a sua compreensão das matemáticas “puras” e “aplicadas”, a sua preocupação com a astronomia e o uso freqüente que faz do latim têm a marca do século XVIII, é inegável que, nos seus trabalhos, se reflete o espírito de um novo período. Se, tal como os seus contemporâneos Kant, Goethe, Beethoven e Hegel, se manteve à margem das grandes lutas políticas da sua época, a verdade é que, no seu próprio campo, Gauss expressou as novas idéias da sua época de uma forma poderosíssima.
As suas publicações, a sua abundante correspondência, as suas notas, e os seus manuscritos mostram que ele possuía uma das maiores virtuosidades científico de todos os tempos.
terça-feira, 11 de março de 2008
segunda-feira, 10 de março de 2008
domingo, 9 de março de 2008
sábado, 8 de março de 2008
segunda-feira, 28 de janeiro de 2008
Roteiro da AP 1a. etapa
Roteiro AP 9º. ANO 1ª. Etapa
1. Organizando os dados
2. Estudando gráficos
3. Estudando médias
4. Potência de um número real com expoente natural
5. Potência de um número real com expoente inteiro negativo
6. Transformando e simplificando uma expressão
7. Raiz enésima de um número real
8. Radical aritmético e suas propriedades
9. Simplificando radicais: extração de fatores do radicando
10. Introduzindo um fator externo no radicando
1. Organizando os dados
2. Estudando gráficos
3. Estudando médias
4. Potência de um número real com expoente natural
5. Potência de um número real com expoente inteiro negativo
6. Transformando e simplificando uma expressão
7. Raiz enésima de um número real
8. Radical aritmético e suas propriedades
9. Simplificando radicais: extração de fatores do radicando
10. Introduzindo um fator externo no radicando
Roteiro da AP 1a. etapa
Roteiro AP 8º. ANO 1ª. Etapa
1. Raiz quadrada exata de um número racional
2. Raiz quadrada aproximada de um número racional
3. Os números racionais e sua representação decimal
4. Os números quadrados irracionais
5. Os números reais
6. O uso de letras para representar números
7. Expressões algébricas ou literais
8. Valor numérico de uma expressão algébrica
9. Uma consideração importante
10. Monômio ou termo algébrico
1. Raiz quadrada exata de um número racional
2. Raiz quadrada aproximada de um número racional
3. Os números racionais e sua representação decimal
4. Os números quadrados irracionais
5. Os números reais
6. O uso de letras para representar números
7. Expressões algébricas ou literais
8. Valor numérico de uma expressão algébrica
9. Uma consideração importante
10. Monômio ou termo algébrico
Roteiro da AP 1a. etapa
Roteiro AP 7º. ANO 1ª. Etapa
1. Potência de um número racional
2. Propriedades da potenciação
3. Números quadrados perfeitos
4. A idéia de números inteiros
5. O conjunto dos números inteiros
6. Módulo de um número inteiro
7. Comparação de números inteiros
8. Adição de números inteiros
9. Subtração de números inteiros
10. Adição algébrica
1. Potência de um número racional
2. Propriedades da potenciação
3. Números quadrados perfeitos
4. A idéia de números inteiros
5. O conjunto dos números inteiros
6. Módulo de um número inteiro
7. Comparação de números inteiros
8. Adição de números inteiros
9. Subtração de números inteiros
10. Adição algébrica
Roteiro da AP 1a. etapa
Roteiro AP 6º. ANO 1ª. Etapa
1. Uma história muito antiga
2. E o nosso sistema de numeração?
3. Idéias associadas à adição
4. Idéias associados à subtração
5. Idéias associadas à multiplicação
6. Idéias associadas à divisão
7. Resolvendo problemas
8. Potenciação de números naturais
9. Noção de divisibilidade
10. Critérios de divisibilidade
1. Uma história muito antiga
2. E o nosso sistema de numeração?
3. Idéias associadas à adição
4. Idéias associados à subtração
5. Idéias associadas à multiplicação
6. Idéias associadas à divisão
7. Resolvendo problemas
8. Potenciação de números naturais
9. Noção de divisibilidade
10. Critérios de divisibilidade
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