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Revisão 9o. ano 1a. lista

LISTA DE EXERCÍCIOS 9o. ANO

Linha do Tempo:

Zenão(490 -- 430 a.C.)
Hipócrates (470--410 a.C.)
Guerra de Peloponeso (431--404 a.C.)
Eudoxo (408--385 a.C.)
Aristóteles (384--322 a.C.)
Euclides (ca. 365 a.C.)
Arquimedes (287--212 a.C.)
Ptolomeu, Claudio (ca. 170--100 a.C.)
Pappus de Alexandria (fl. 300--350)
Fibonacci, Leonardo (ca. 1170--após 1240)
Alberto da Saxônia (ca. 1316--1390)
Oresme, Nicole (ca. 1320--1382)
Tartaglia, Niccolò (1499--1557)
Cardano, Girolamo (1501--1576)
Viète, François (1540--1603)
Brahe, Tycho (1546 -- 1601)
Stevin, Simon (1548 -- 1620)
Briggs, Henry (1561 -- 1630)
Galilei, Galileu (1564 -- 1642)
Kepler, Johannes (1571 -- 1630)
Snell, Willebrord (1580--1626)
St. Vincent, Gregory (1584--1667)
Mersenne, Marin (1588--1648)
Descartes, René (1596—1650)
Cavalieri, Bonaventura (ca.1598--1647)
Fermat, Pierre de (1601--1665)
Roberval, Gilles (1602--1675)
Wallis, John (1616--1703)
Torricelli, Evangelista (1608--1647)
Sluse, René-François de (1622--1685)
Pascal, Blaise (1623--1662)
Hudde, Johan (1628--1704)
Huygens, Christiaan (1629--1695)
Barrow, Isaac (1630--1677)
Gregory, James (1638--1675)
Newton, Isaac (1642--1727)
Leibniz, Gottfried Wilhelm (1646--1716)
Rolle, Michel (1652--1719)
Bernoulli, Jakob (1654--1705)
Halley, Edmund (1656--1742)
Fontenelle, Bernard le Bouyer (1657--1757)
Gregory, David (1659--1708)
L'Hospital, Guillaume de (1661--1704)
Bernoulli, Johann (1667--1748)
Berkley, George (1685--1753)
Taylor, Brook (1685--1731)
Maclaurin, Colin (1698--1746)
Bernoulli, Daniel (1700--1782)
Euler, Leonhard (1707--1783)
Simpson, Thomas (1710--1761)
Agnesi, Maria Gaetana (1718--1799)
Lagrange, Joseph Louis (1736--1813)
Monge, Gaspard (1746--1818)
Laplace, Pierre-Simon de (1749--1827)
Legendre, Adrien-Marie (1752--1833)
Carnot, Lazare-Nicolas-Marguerite (1753--1823)
Lacroix, Sylvestre François (1765—1843)
Fourier, Joseph (1768--1830)
Ampère, André Marie (1775--1836)
Gauss, Carl Friedrich (1777--1855)
Bolzano, Bernhard (1781--1848)
Poisson, Siméon Denis (1781--1840)
Cauchy, Augustin-Louis (1789--1857)
Babbage, Charles (1792--1871)
Green, George (1793--1841)
Davies, Charles (1798--1876)
Ostrogradsky, Mikhail Vasilievich (1801--1862)
Abel, Niels Henrik (1802--1829)
Jacobi, Carl Gustav Jacob (1804--1851)
Weber, Wilhelm (1804--1891)
Dirichlet, Peter Gastav Lejeune (1805--1859)
Hamilton, William (1805--1865)
Grassmann, Herman (1808--1877)
Bunsen, Robert (1811--1899)
Weierstrass, Karl (1815--1897)
Stokes, George Gabriel (1819--1903)
Cayley, Arthur (1821--1895)
Hermite, Charles (1822--1901)
Kirchhoff, Gustav Robert (1824--1887)
Thomson, William (1824--1907)
Riemann, Bernhard (1826--1866)
Dedekind, Richard (1831--1916)
Maxwell, James Clerk (1831--1879)
Mach, Ernst (1838--1916)
Gibbs, Josiah Willard (1839--1903)
Rayleigh, John William Strutt (1842--1919)
Cantor, Georg (1845--1918)
Klein, Christian Felix (1849--1925)
Kovalevsky, Sonya (1850--1891)
Heaviside, Oliver (1850--1925)
Lindemann CLF Ferdinand (1852--1939)
Runge, Carl (1856--1927)
Hilbert, David (1862--1943)
Birkhoff, George David (1884—1944)
Courant, Richard (1888--1972)
Von Neumann, John (1903--1957)
Zadeh, Lotfi A. (1921-- )

Linha do Tempo

4.700 a.C. - Provavel início do calendário Babilônico
4.241 a.C. - Origem do calendário Egípcio
3.500 a.C. - Uso regular da escrita
2.650 a.C. - Construção da grande pirâmide de Queops
1.850 a.C. - Papiro de Moscou
1.650 a.C. - Papiro de Ahmes ( Rhind)
1.100 a.C. - Os mais antigos documentos comprovando a existência de atividades matemáticas na China
753 a.C. - Fundação de Roma
600 a.C. - Início da Matemática dedutiva, com Tales de Mileto
540 a.C. - Provavel época do auge dos trabalhos de Pitágoras
380 a.C. - Platão
370 a.C. - Trabalhos de Eudóxio sobre proporções, incomensuráveis e exaustão (limites)
.336 a.C. - Fundação de Alexandria
322 a.C - Morte de Aristóteles
300 a.C. - Euclides escreve os Elementos
287-212 a.C - Arquimedes ( determinação do valor de ¶, cálculo da esfera, hidrostática, etc.)
225 a.C. - As cônicas de Apolônio
274-194a.C. - Eratóstenes ( cálculo da circunferência da Terra)
4 a.C - Nascimento de Jesus
275 - Diofante escreve sobre a Teoria dos Números
410 - Fanáticos cristãos assassinam Hipácia, professora e geômetra da escola de Alexandria
500 - Época aproximada em que os Hindus criaram o conceito de zero
642 - Árabes conquistam o Egito, queima da biblioteca de Alexandria
650 - Provavel origem dos numerais hindus
711 - Os árabes invadem a Espanha
820 - Abu-Abdula Mohamed ibn-Musa Al-Khwarizmi escreve sobre Álgebra
1.100 - Obras de Omar Khayyan
1.200 - Adelard de Bath entra na Espanha, disfarçado, para obter a versão árabe dos Elementos, realizada por determinação do califa Harum Al-Raschid, 300 anos antes
1.150 - Obras de Bhaskara
1.180-1.250 - Leonardo(Fibonacci) de Pisa
1.450 - Guttemberg inventa a imprensa
1.453 - Queda de Constantinopla
1.455-1.514 - Luca Paccioli
1.482 - Primeira edição impressa dos Elementos, em Veneza
1.492 - Colombo descobre a América
1.500-1.557 - Nicoló Fontana ( Tartaglia )
1.500 - Descobrimento do Brasil
1.501-1.576 - Girolamo Cardano
1.522-1.560 - Ludovico Ferrari
1.526-1.573 - Rafael Bombelli
1.540-1.603 - François Viète
1.550-1.617 - John Napier, inventor dos logaritmos
1.564-1.642 - Galileu Galilei, o Pai da Física
1.571-1.630 - Johannes Kepler, astrônomo cujas medições levaram Newton a descobrir as leis da Mecânica Celeste
1.595-1.630 - Bonaventura Cavalieri, precursor dos Cálculos Diferencial e Integral
1.596-1.650 - René Descartes
1.601-1.665 - Pierre de Fermat
1.602-1.672 - Gilles Persone de Roberval
1.608-1.647 - Evangelista Torricelli
1.623-1.662 - Blaise Pascal
1.629-1.695 - Christian Huygens
1.642-1.727 - Isaac Newton
1.665-1.666 - "Anos Milagrosos"de Newton
1.646-1.716 - Gottfried Wilhelm Leibniz
1.654-1.705 - Jacques Bernoulli
1.667-1.748 - Jean Bernoulli
1.685-1.731 - Brook Taylor
1.687 - Newton publica os Principia Mathematica
1.707-1.783 - Leonhard Euler
1.717-1.783 - Jean le Rond D'Alembert
1.736-1.813 - Joseph-Louis Lagrange
1.749-1.827 - Pierre Simon de Laplace
1.752-1.833 - Adrien Marie Legendre
1.777-1.855 - Carl Friedrich Gauss
1.781-1.858 - August Louis Cauchy
1.802-1.829 - Niels Henrik Abel
1.811-1.832 - Évarist Galois
1.823-1.891 - Leopold Kronecker
1.845-1.832 - Georg Cantor

LAPLACE, Pierre Simon,

Astrônomo e matemático francês nascido em Beaumont-en-Auge. Calvados, 28 de março de 1749 faleceu em Paris, 5 de março de 1827

Pouco se sabe dos primeiros anos da vida de Laplace. Como era muito esnobe, durante sua carreira de cientista, escondia sua origem. Sua familia devia ser de poucas posses e acredita-se que vizinhos abastados tenham pago os estudos do menino obviamente bem dotado. No entanto, algumas pesquisas bio­gráficas mais recentes tendem a indicar que sua família teria pertencido á rica burguesia.

Com 18 anos, mandaram-no a Paris com uma carta de apresentação para D Alembert que se recusou a recebê-lo. Laplace mandou-lhe então um trabalho sobre mecânica tão bom que D’Alembert ficou subita­mente encantado de ser seu tutor. Obteve para o jovem cientista uma cadeira de mate­matíca.

No início, Laplace trabalhou com Lavoi­sier na determinação do calor específico de várias sustâncias. Em 1780. os dois pes­quisadores demonstraram que a quantidade de calor necessária para decompor um com­posto em seus elementos constituintes é igual á quantidade de calor necessária á, reação in­versa. A descoberta pode ser considerada como o inicio da termometria e como um outro índice — depois dos trabalhos de Black sobre calor latente — da futura doutrina da conservação da energia. que atingiria a ma­turidade 6 décadas mais tarde.

Contudo, Laplace voltou suas atenções para o estudo das perturbações observadas no sistema solar e para o mistério da estabilidade do mesmo. Os mesmos problemas já estavam intrigando Lagrange. Em 1787. Laplace demonstrou que a aceleração da Lua era um pouco maior que a permitida pelas explica­ções emitidas anteriormente. Atribuiu o fato ao lento decréscimo da excentricidade da Terra, sob a influência dos outros planetas. Isso significava que a influência gravitacional da Terra sobre a Lua modificava-se lenta-mente. Essa modificação não havia sido le­vada em conta antes e explicava a diminuta quantidade adicional de aceleração do sate­lite. Estudou também certas anomalias dos movimentos de Júpiter e Saturno e. com a ajuda dos trabalhos de Lagrange. provou que decorriam por causa da influência da gravita­ção de um planeta sobre o outro.

Laplace e Lagrange. trabalhando em luga­res diferentes mas em perfeita cooperação. trataram de generalizar o assunto. Por exem­pIo, calcularam que a excentricidade total das órbitas planetárias do sistema solar devia permanecer constante, uma vez que todos os planetas orbitam na mesma direção (o que re­almente acontece). Se um planeta aumenta a excentricidade de sua órbita, os outros devem diminuir sua própria excentricidade de ma­neira semelhante para manter o equilíbrio. A mesma constância mantém a órbita planetária inclinada em relação ao plano da eclíptica. A quantidade total de excentricidade e inclina­ção de todo o sistema solar é tão pequena que nenhum planeta pode modificar suas caracte­rísticas orbitais.

Demonstrou-se assim que, enquanto o sistema solar permanecer isolado e a natureza do Sol não se modificar drasticamente, nosso sistema permanecerá tal como está por um período indefinido.

De certa maneira, Laplace completou os trabalhos de Newton no campo da as­tronomia planetária e é, às vezes, chamado de Newton francês. Maiores precísoes esperariam por Leverrier e Poincaré. respectivamente 50 e 100 anos depois.

Laplace desenvolveu toda a sua teoria planetária em uma obra monumental com­posta de 5 livros e intitulada Mecânica Celestial Os volumes foram editados entre 1799 e 1825. Apesar de uma intromissão na política, seu trabalho não sofreu interrupção embora as mudanças de governo francês constituís­sem um sério risco. Assistiu à ascensão e a queda de Napoleão. Estava protegido por seu prestígio e por sua habilidade em resolver problemas de balística por meio da matema­tica. Adaptava-se também admiravelmente a mudanças políticas e a circunstâncias às ve­zes adversas.

Outra faceta pouco agradável de sua per­sonalidade consistia em não reconhecer o va­lor de outros cientistas (à semelhança de La­voisier). Cita apenas a contribuição de La­grange ao trabalho comum sobre mecânica ce­leste. O delicado Lagrange nem se apercebeu do fato.

Napoleão nomeou Laplace ministro do in­terior mas, quando se comprovou sua incom­petência, foi removido para o posto pura­mente decorativo de senador. Mesmo assim, quando, após a queda do imperador, Luís XVIII subiu ao trono; não somente Laplace não foi molestado (ao contrário de Hàuy e de Chaptal) mas ainda recebeu o título de marquês. Outras honrarias vieram. Em 1785, foi eleito para a Academia de Ciências. o que já era de se esperar. Em 1816, foi eleito membro da sociedade literária mais exclusiva e mais enaltecida do mundo: a Academia Francesa e, em 1817, tornou-se seu presi­dente.

Diga-se de passagem que Mecânica Celes­tial ficou famosa pelo hábito que tinha seu au­tor de afirmar que de uma equação A é óbvio que segue a equação B. Estudiosos levam ho­ras, e até dias, para entender por que o racio­cínio é tão óbvio. Conta-se que Napoleão, após haver folheado a obra, teria observado não haver menção de Deus. Laplace teria respondido: “Não necessito dessa hipótese.” Quando ouviu a histÓria, Lagrange afirmou:

“Mas é uma hipótese maravilhosa. Ela ex­plica tantas coisas.

No campo da matemática pura, Laplace, entre 1812 e 1820, escreveu um tratado sobre a teoria das probabilidades e deu a essa ciên­cia sua forma moderna.

Estranhamente, Laplace ficou mais co­nhecido por uma especulação publicada no rodapé de uma das últimas edições de um livro pouco matemático e destinado a vulgari­zar a astronomia. Ele mesmo não a levara muito a sério. Uma vez que todos os planetas giram em torno do Sol, na mesma direção e praticamente no mesmo plano, sugeriu que o sistema solar havia-se originado a partir de uma nebulosa gigante. ou seja, de uma massa de gás em rotação. A contração do gás pro­vocaria uma aceleração da rotação e um anel externo seria deixado para trás pela força centrífuga). O anel gasoso condensar-se-ia depois em um planeta. Com o prosseguimento da contração, outros planetas formar-se-iam. todos girando no mesmo sentido. O centro da nebulosa sofreria então uma contração final e formaria a estrela central.

Essa hipótese nebular estimulou a imagi­nação dos astrônomos e permaneceu como a explicação da formação do sistema solar mais popular durante o século XIX. Nas primeiras décadas do século XX. essa teoria sofreu um período de esquecimento mas voltaria a atin­gir grande popularidade sob uma forma modi­ficada por Weizsácker.

Kant 40 anos antes, já emitira uma teoria semelhante, embora não tão completa. E provável que Laplace a ignorasse comple­tamente.

NEWTON, Sir Isaac

Cientista e matemático inglês nascido em Woolsthorpe, Lincolnshire, 25 de dezembro de 1642 faleceu em Londres, 20 de março de 1727.Pelo calendário Juliano, Newton havia nascido no dia de Natal, mas, pelo Gregoria­no que hoje usamos, nasceu em 4 de janeiro de 1643.

Julgado por alguns autores como a maior inteligência já aparecida na Terra, Newton iniciou sua vida sob péssimos auspícios. Nas­ceu prematuro e praticamente morto (no ano da morte de Galileu [149]). Seus primeiros dias de vida foram precários e, quando tinha três anos, sua mãe casou-se novamente e dei­xou o menino aos cuidados dos avós. (O pa­drasto morreu quando Newton ainda era um escolar.) Na escola, era um garoto estranho, interessado em construir dispositivos mecâni­cos projetados por ele mesmo, tais como pa­pagaios, relógios solares e de água, etc. Era curioso acerca do mundo, mas não demons­trava nenhum brilho excepcional. Parecia até lerdo em seus estudos, até que, quando ado­lescente. começou a esforçar-se para ultrapas­sar o fanfarrão de sua turma, que, por acaso, também era o primeiro aluno.

Em fins de 1650, foi retirado da escola para ajudar sua mãe a cuidar da fazenda e transformou-se imediatamente no pior fazen­deiro do mundo. Seu tio, membro do Colégio da Trindade, de Cambridge, pressentindo o sábio latente no menino, conseguiu mandá-lo para Cambridge. Ali chegou Newton em 1660 e diplomou-se em 1665, sem distinção particu­lar.

A peste assolava Londres, e Newton retirou-se para a fazenda de sua mãe a fim de escapar à doença. Nessa época, já havia ela­borado o teorema dos binômios, artifício ma­temático segundo o qual a soma de duas fun­ções elevadas ao quadrado pode ser expandi­da em uma série de termos, de acordo com uma lei simples. Estava desenvolvendo então os princípios dos futuros cálculos.

Algo de muito maior importância, porém, aconteceu durante sua estada na fazenda ma­terna. Viu uma maçã cair no chão e passou a imaginar se a mesma força que atraía a fruta para baixo também mantinha a Lua presa. Depois de meio século, as leis de Kepler estavam finalmente aceitas e Newton usou-as em sua comparação entre a maçã e a Lua. (Muitos autores consideram a história da maçã como um mito, mas, segundo as pró­prias palavras de Newton, ela teria realmente ocorrido.)

E necessário ter em mente que, segundo a filosofia de Aristóteles, durante toda a antiguidade e toda a era medieval, existia a crença de que objetos situados na Terra e no céu obedeciam a dois conjuntos de leis dife­rentes, principalmente no que dizia respeito ao movimento. Era, portanto, um golpe de in­tuição audacioso afirmar ser idêntica a força que atua sobre a maçã e sobre a Lua.

Newton redigiu então sua famosa lei: “A velocidade da queda é proporcional à força da gravidade, e essa força diminui com o quadra­do da distância até o centro da Terra”. (E a famosa lei do inverso do quadrado.) Para po­der comparar as velocidades das quedas res­pectivas da maçã e da Lua, Newton tinha de descobrir quantas vezes a Lua era mais dis­tante do centro da Terra que a maçã; em ou­tras palavras: qual era a distância até a Lua em termos de diâmetros terrestres. Ficou tre­mendamente desapontado quando verificou que seus cálculos apenas forneciam sete oita­vos do valor real. A diferença parecia sufici­ente para invalidar toda sua teoria.

É possível, segundo alguns autores, que tenha usado um valor estimado do raio da cir­cunferência terrestre um pouco inferior ao real. De acordo com sua teoria, a força da gravidade diminuiria então mais rapidamente com o quadrado da distância até a Terra e a Lua sofreria uma queda, em direção à Terra. menos acentuado que realmente é. (A que­da da Lua vem a ser o desvio constante da linha reta que mantém o satélite em uma órbi­ta circular sem todavia deixá-lo aproximar-se demais da Terra.)

Outros asseguram que Newton havia vaci­lado por não ter certeza de poder lançar mão da distância até o centro da Terra para deter­minar a força da gravidade. Poderia o vasto globo terrestre ser reduzido a um ponto cen­tral, em termos de atração lunar? A elabora­ção da técnica matemática apropriada devolveu-lhe a tranquilidade a esse respeito.

A segunda hipótese parece mais plausível. Porém, de qualquer maneira, Newton aban­donou o problema da gravitação por mais de 15 anos.

No mesmo período, isto é, de 1665 a 1666. Newton realizava surpreendentes experiên­cias no campo da óptica, inspiradas talvez pela leitura do livro de Boyle [186] sobre co­res. As descobertas ópticas de Kepler tam­bém suscitaram seu interesse. Deixou um raio de luz entrar em um quarto escuro, por uma fenda de uma cortina, e o fez passar por um prisma de vidro antes de recebê-lo sobre uma tela. A luz sofria o fenômeno de refração. Seus diversos constituintes, porém, diver­giam, e sobre a tela incidia, não um ponto de luz alargado mas uma faixa de cores consecu­tivas na ordem familiar do arco-íris: verme­lho, laranja, amarelo, verde, azul e roxo.

Era possível imaginar que essas cores eram criadas pelo prisma, mas Newton de­monstrou que já estavam presentes na luz branca, a qual não passava da combinação dessas cores. A prova consistiu em fazer pas­sar o arco-íris por um segundo prisma, de ori­entação diametralmente oposta ao primeiro, e obter assim uma nova combinação das cores que, recebida sobre uma tela, mostrava uma luz branca. Se um prisma era atravessado por apenas uma das cores, o feixe podia ser alar­gado ou estreitado, na dependência de sua in­cidência, porém não ocorria nenhuma outra decomposição cromática.

(Ninguém sabe exatamente por que New­ton não citou as linhas escuras que limitam o espectro. E óbvio que em algumas de suas experiências elas devem ter aparecido. Mas, como possuía um assistente, uma vez que so­fria de baixa acuidade visual, esse pode não ter achado as raias pretas importantes e não as ter relatado. Essa descoberta, de suma importância, teria de esperar ainda um século e meio antes de ser anunciada por Wollaston e Fraunhofer.)

Suas experiências com o prisma tomaram Newton famoso. Em 1667, voltou para Cam­bridge e ali permaneceu por mais de 30 anos. Em 1669, seu professor de matemática demitiu-se em seu favor e, com a idade de 27 anos, Newton tomou-se professor Lucasiano de matemática da Universidade de Cambrid­ge. (A cadeira havia recebido o nome de Hen­ry Lucas, cujo dinheiro a mantinha e a havia criado.) Um edital especial da Coroa tomou desnecessário seu ingresso nas ordens religio­sas a fim de conservar seu emprego. No perí­odo de um ano proferiu umas oito conferên­cias (número relativamente pequeno) e pas­sou o resto de seu tempo mergulhado em pes­quisas e meditações.

Em 1672, foi eleito membro da Royal Soci­ety perante a qual se apressou em descrever suas experiências com cores e luzes. Com a mesma diligência tomou-se inimigo de Robert Hooke.

Hooke havia realizado algumas experiên­cias com luz e prismas, porém, como sempre, não havia chegado a nenhuma conclusão cor­reta. e havia emitido apenas meias explica­ções. Contudo, investiu violentamente contra Newton e. durante o resto de sua vida, man­teve acesa essa antipatia claramente provoca­da por ciúme.

Se, por um lado, Newton constitui uma das maiores inteligências que já apareceram no mundo, por outro era um triste exemplar de ser humano. Nunca se casou e. com a ex­ceção de um débil romance de mocidade, nun­ca deu mostras de perceber a existência das mulheres ou de se interessar por elas. Era ri­diculamente distraído e sempre preocupado com assuntos destituídos de interesse para os que o cercavam. Era extremamente suscepti­vel à crítica e infantil em suas reações à mes­ma. Várias vezes ameaçou nunca mais publi­car trabalhos científicos se continuasse o alvo de restrições por parte do mundo científico. Em 1673, em um rasgo de petulância, tentou desligar-se da Royal Society. Como sua de­missão não fora aceita, as relações entre o fí­sico e a Sociedade permaneceram frias.



Mas o ódio experimentado por Newton em relação às críticas não o impediu de ser tão agressivo quanto Hooke, embora de ma­neira muito menos aberta. Evitava envolver-se pessoalmente em controvérsias, mas com­prometia seus amigos. Instigava-os e depois não movia um dedo para protegê-los.

Newton e Leibniz desenvolveram in­dependentemente, e quase que simultanea­mente, o cálculo. Durante vários anos o fato pareceu carecer de qualquer importância. Newton e Leibniz eram amigos, mas, quando a fama de ambos começou a crescer, algumas pessoas começaram a substituir seu bom sen­so por um exagerado patriotismo. Como de costume, Newton havia atrasado a publicação de sua descoberta, o que tornou o assunto ainda mais confuso. Tornou-se subitamente muito importante saber se a primazia da des­coberta cabia a um inglês ou a um alemão. Travou-se acirrada batalha, durante a qual os dois sábios acusavam-se mutuamente do rou­bo da idéia.

Nenhum furto intelectual havia sido come­tido. Os dois matemáticos eram inteligências de destaque capazes de descobrir o cálculo. especialmente porque esse ramo da matemáti­ca estava enfocado e já havia sido esboçado por Fermat. Mas a luta seguia seu curso com Newton a instigar secretamente seus se­guidores.

O cálculo vem a ser um processo matemá­tico indispensável ao desenvolvimento cientí­fico. Por uma questão puramente nacionalis­ta, os matemáticos ingleses teimaram em utili­zar a técnica newtoniana apesar de ser a de Leibniz muito mais prática. Isolaram-se por­tanto dos avanços realizados no Continente no campo da matemática, que permaneceu moribunda na Grã-Bretanha por mais de um século.

Suas experiências com luzes e cores leva­ram Newton a especular sobre a própria natu­reza da luz. Alguns cientistas, entre os quais o onipresente Hooke e Huygens, acredi­tavam ser a luz, à semelhança do som, consti­tuída por um movimento ondulatório periódi­co. Todavia, para Newton, o movimento reti­líneo da luz e suas sombras nítidas consti­tuíam fatos fundamentais. O som, como movi­mento ondulatório, podia contomar um obstá­culo e ser ouvido atrás do mesmo. A luz não possuía essa propriedade. Só pode ser vista atrás de um obstáculo, por meio de um espe­lho. O inglês concordava portanto com De­mócrito o qual afirmara ser a luz consti­tuída por um fluxo de partículas que se mo­vem do objeto luminoso até os olhos do ob­servador.

A teoria das partículas estava longe da perfeição. Grimaldi havia prova­do que o raio luminoso sofria uma leve distor­ção na proximidade de um obstáculo, o que não era possível explicar pela teoria das partículas. Em seguida apareceu o fenômeno da dupla refração, descoberto por Bartholin e ainda mais difícil de explicar dessa ma­neira. A fim de lidar com essas contradições. Newton desenvolveu novas linhas de pensa­mento bastante sofisticadas para sua época. Atualmente, a teoria moderna da luz tende a retomar o caminho de alguns raciocínios new­tonianos. Contudo, os seguidores do físico abandonaram seus pensamentos mais elabora­dos e resumiram sua teoria em um conjunto linear de partículas animadas de grande velo­cidade que manteve a soberania da teoria das partículas sobre a teoria ondulatória por mais de um século, graças ao imenso prestígio de Newton. (Durante todo o século XVIII e par­te do XIX, o nome de Newton iria adquirir o mesmo efeito de peso morto tido por Aristó­teles nos séculos XVI e XVII.)

Newton não via nenhum meio de impedir a formação do espectro luminoso, formado pela passagem da luz através de prismas e len­tes. Por essa razão. os telescópios da época atingiram seu limite máximo de alcance. Não fazia sentido construí-los maiores e espe­rar maiores aumentos. A luz. ao passar pelas lentes. desenhava sombras coloridas em torno da imagem dos astros e turvava assim os deta­lhes (o fenómeno é conhecido hoje como aberração cromática).

Por isso, em 1668, Newton concebeu um telescópio refletor que concentrava a luz por reflexão a partir de um espelho parabólico, em lugar da refração através de uma lente. Ja­mes Gregory o havia antecipado teorica­mente mas não na prática.

O telescópio refletor apresentava duas vantagens sobre o refrator: a luz não passa pelo vidro mas é refletida sobre sua superfí­cie. de modo que não ocorre o fenômeno de absorção luminosa; em segundo lugar. elimina-se a aberração cromática.

O telescópio refletor constituiu um enorme avanço, O primeiro a ser fabricado por New­ton media 15cm de comprimento e 2,5cm de diâmetro, um simples brinquedo, mas amplia­va de 30 a 40 vezes. Em 1671. construiu um maior com 23cm de comprimento e 2.5cm de diâmetro, o qual apresentou ao Rei Carlos II e perante a Royal Society que escolheu a oportunidade para elegê-lo membro. Até hoje conserva o telescópio. Imediatamente Hooke fabricou um outro telescópio. de acordo com as especificações de

Gregory. algo diferente das de Newton, mas o aparelho não resultou tão bom.

Os grandes telescópios modernos são do tipo refletor. Mesmo assim Newton estava enganado. E possível construir um telescópio refrator e eliminar a aberração cromática, o que foi conseguido por Dollond, pouco depois da morte de Newton.

A década de 1680 iria tornar-se o ponto culminante da vida de Newton. Em 1684. Ho­oke encontrou-se com Wren e Halley e vangloriou-se, com seu jeito odioso. de ter descoberto as leis que regem os movi­mentos dos corpos celestes. Wren não se dei­xou impressionar pelas explicações de Hooke e ofereceu um premio para quem descobrisse a solução do problema.

Halley, que era amigo de Newton, apre­sentou-lhe o enigma e lhe perguntou como os planetas podiam orbitar. se entre objetos sóli­dos existia a força de atração que se enfraque­cia em uma razão equivalente ao quadrado da distância que separava esses objetos.

Newton respondeu imediatamente:

— Por meio de elipses.

— Mas como é que o senhor sabe?

— Porque eu já o havia calculado.

E Newton contou-lhe a respeito de suas especulações teóricas realizadas em 1666, ano da grande epidemia de peste. Muito excitado. Halley instigou Newton a retomar o proble­ma.

Agora as coisas eram diferentes. Newton conhecia um valor mais acurado para o raio terrestre, determinado por Picard. Além do mais, havia levado o cálculo a um ponto tal que podia afirmar que as diversas partes de um corpo esférico, "respeitando-se algu­mas condições de densidade”, podiam exer­cer suas forças de atração, de forma que o corpo, considerado em conjunto, com­portava-se como se toda a atração fosse exer­cida apenas pelo seu centro.

Ao repetir seus velhos cálculos, pareceu­lhe que dessa vez a resposta iria surgir. Se­gundo consta, ficou tão agitado com essa possibilidade que se viu obrigado a interrom­per suas pesquisas e deixar um amigo conti­nuar em seu lugar.

Newton começou então a redação de um livro que incorporava todos esses conheci­mentos. completou-o em 18 meses e o publi­cou em 1687. Intitulou-o: Philosophiae Natu­ralis Principia M athematica (Princípios Mate­máticos da Filosofia Natural).

Era escrito em latim e somente em 1729 foi traduzido para o inglês, 42 anos depois de sua publicação

É considerado como o maior traba­lho científico jamais escrito. Era, por exem­plo, a opinião de Laplace cuja tendência para elogiar obras alheias igualava a do pró­prio Newton. Apesar de ter descoberto o cál­culo, Newton provou suas teorias por meio de um raciocínio geométrico. já fora de moda. Constitui assim a obra o último grande traba­lho científico elaborado no velho estilo grego.

Nele, o astrônomo codifica as descobertas de Galileu nas três leis da cinética. A primeira enuncia o princípio da inércia: um corpo em repouso permanece em repouso e um corpo em movimento permanece em movimento com uma velocidade constante até que surja a interferência de uma força externa. Essa pri­meira lei confirmava a opinião de Buridano. de 3 séculos atrás, e tornava desneces­sária a intervenção de espíritos ou de anjos na manutenção do movimento dos astros. O movimento existia porque nada havia no espa­ço para obstá-lo uma vez dado o impulso ini­cial.

A segunda lei da cinética define a força em termos de massa e aceleração. Constitui por­tanto a primeira distinção clara entre a massa de um corpo (que representa sua resistência à aceleração; em outras palavras, a quantida­de de inércia que possui) e seu peso (que re­presenta a quantidade de força de gravidade que existe entre esse corpo e um outro, habi­tualmente à Terra.)

Finalmente, a terceira lei reza que para cada ação aparece uma reação igual e que se exerce em sentido oposto. Essa lei adquiriu grande destaque na época atual, porque cons­titui o princípio de funcionamento dos fogue­tes. Newton estudou o comportamento de ob­jetos móveis no vácuo e depois em meios que oferecem determinada resistência. Em relação a essa última situação, descortinou os funda­mentos da aeronáutica moderna.

A partir das 3 leis, Newton foi capaz de deduzir como atuava a força da gravidade en­tre a Terra e a Lua. Demonstrou que era dire­tamente proporcional ao produto das massas dos dois corpos e inversamente proporcional ao quadrado da distância que separa o centro dos dois planetas. A proporcionalidade pode ser transformada em igualdade pela introdu­ção de uma constante. Daí resultou a famosa equação:





onde m1 e m representam as massas respecti­vamente da Terra e da Lua, d a distância en­tre seus centros, G a constante gravitacional e F a força de atração entre os dois astros.

Representou espantoso golpe de intuição o fato de Newton ter afirmado ser essa lei vá­lida entre dois corpos celestes situados em qualquer região do universo. Tornou-se assim conhecida sob o nome de lei da gravitação universal. Cavendish [263], um século depois, iria determinar o valor de G e, assim, a massa da Terra que Newton já havia estimado corre­tamente, como também fez com as massas de Júpiter e Saturno.

Tornou-se rapidamente evidente que a lei da gravitação universal era extremamente po­derosa e poderia explicar os movimentos de todos os corpos celestes até então conheci­dos. Explicava todas as leis de Kepler e a pró­pria precessão dos equinócios. As pequenas irregularidades observadas nos movimentos planetários podiam ser interpretadas como o resultado da superposição de suas atraçoes mútuas (perturbações) com a gigantesca atra­ção solar. A lei resolvia também o problema das variações complexas do movimento lunar. (Newton admitiria mais tarde que esse movi­mento, que Kepler não havia sido capaz de explicar, constituiu o único problema que lhe dera dores de cabeça.) Em seu livro, incluiu um desenho que exemplificava como a força da gravidade poderia controlar o movimento de um satélite artificial.

Seu grande livro foi publicado em uma edi­ção de apenas duas mil e quinhentas cópias. Contudo, foi bem recebido pela crítica, tendo seu valor sido imediatamente reconhecido pelo mundo científico. Representava o ponto culminante da revolução científica iniciada por Copérnico [1161, um século e meio antes. Nas mãos de Newton, ela se transformou em algo maior que uma simples explicação práti­ca de medições e equações que filósofos teóri­cos podiam julgar indigna de ser comparada às grandes cosmologias dos antigos.

Newton havia portanto enfrentado os gre­gos no campo de suas idéias mais sólidas e os havia derrotado. O Principia Mathematica permitiu o desenvolvimento de um esquema universal global, muito mais elegante e claro que aqueles concebidos durante a Antiguida­de, O esquema newtoniano apoiava-se em um conjunto reduzido de hipóteses tão simples, desenvolvidas a partir de um raciocínio mate­mático tão claro e tão sedutor que os conser­vadores não encontravam a coragem necessá­ria para combatê-lo. Huygens viajou para a Inglaterra com o expresso propósito de en­contrar seu autor.

Newton havia assim mergulhado em plena Idade da Razão, durante a qual os eruditos iriam desenvolver o princípio de que qualquer problema podia ser resolvido pela aceitação de alguns poucos axiomas, elaborados a partir da observação cuidadosa dos fenômenos natu­rais e do emprego cuidadoso da ciência mate­mática. A realidade revelou-se um tanto ou quanto mais complicada mas, durante todo o século XVIII. o homem mergulhou na glória de um novo otimismo intelectual, desconheci­do até então, e que não haveria de ocorrer no­vamente.

Contudo, a publicação do livro provocou alguns problemas para seu autor. A Royal So­ciety, responsável pela publicação, estava com poucos recursos e a briga de Newton com Hooke estava em seu auge. Esse último outorgava-se a prioridade da descoberta e for­necia como prova uma carta que tratava do assunto e que teria mandado para Newton 6 anos antes. Exasperado, Newton foi final­mente obrigado (contra as inclinações de sua natureza pouco generosa) a incluir em sua obra um curto parágrafo, no qual cita algumas conclusões dos trabalhos de Hooke, Wren e Halley, conclusões desenvolvidas por ele com muito maiores detalhes. Mesmo assim, a Royal Society, então sob a presidência de Sa­muel Pepys, o diarista, recusou envolver-se nessa disputa sórdida e voltou atrás em seus entendimentos quanto à publicação da obra.

Felizmente. Halley. homem de muitas posses. comprometeu-se a custear as despesas da publicação, arrumou as ilustrações e leu as provas de prelo. Por meio de um trabalho insa­no, conseguiu manter Hooke quieto e ador­meceu a natureza hipersensitiva de Newton. Quando o livro foi finalmente lançado, vários homens de ciência adotaram imediatamente a nova tese.

Mas as brigas contínuas e o terrível esfor­ço mental exigido pelas suas descobertas ma­temáticas estavam arrasando Newton. (Quan­do Halley perguntou-lhe certo dia como havia sido o primeiro a realizar tantas descobertas, Newton respondeu que conseguia resolver seus problemas, não pela inspiração ou pela intuição súbita, mas por um esforço contínuo de pensamento até chegar à conclusão deseja­da. A frase é provavelmente o retrato fiel da verdade. Se existisse algo como o suor men­tal, é certo que Newton nele se teria afogado. Além do mais, detestava distrações e uma vez xingou Halley por ter feito uma observação jocosa.)

Como se não bastassem seus trabalhos no campo da matemática e da física. Newton passou muito tempo da última parte de sua vida tentando descobrir a receita da fabrica­ção do ouro. (Acreditava cegamente em trans-mutação e escreveu meio milhão de palavras sem nexo que tratavam de química.) Especu­lava infindavelmente sobre assuntos teológi­cos e chegou a escrever um milhão e meio de palavras estéreis que analisavam os capítulos mais místicos da Bíblia.

Como Kepler, tentou calcular o dia da cri­ação e o situou em torno de 3500 a.C. Rejuve­nesceu assim a Terra de 500 anos. A ciência somente conseguiria livrar-se da cronologia bíblica um século depois. com os trabalhos de Hutton.

Aparentemente, Newton havia conseguido livrar-se da noção unitarista mas guardou-se cuidadosamente de divulgar sua opinião a res­peito; não poderia ter permanecido em Cam­bridge se tivesse negado abertamente a divin­dade de Cristo.

Mas, em 1692, seu espírito sempre ocupa­do cambaleou. Sofreu um colapso nervoso e retirou-se do cenáculo científico por mais de dois anos. Segundo uma lenda famosa, o co­lapso teria sido precipitado por um pequeno desastre, no qual Diamond. cão do matemáti­co, teria derrubado um candeeiro e queimado anos de cálculos acumulados. "Oh. Diamond, Diamond,” ter-se-ia lamentado o pobre New­ton, “ignoras completamente o prejuízo que me deste.” (A história não deve ser verídica porque é muito duvidoso que Newton jamais tivesse possuído um cão.)

Nunca voltou a ser o mesmo embora va­lesse 10 homens comuns. Por exemplo, quan­do em 1696 um matemático suíço apresentou dois problemas novos e desafiou os sábios eu­ropeus para resolvê-los, Newton remeteu anonimamente as soluções, um dia depois. O desafiante não se deixou enganar e afirmou:

“Reconheço a garra do leão.” Em 1716, quando Newton completava 75 anos, Leibniz inventou um novo problema com a precípua finalidade de embaraçá-lo. Uma tarde bastou para encontrar a solução.

Em 1687. Newton defendeu os direitos da Universidade de Cambridge perante o impo­pular Rei Jaime II, sem muito alarido porém de maneira eficiente. Como resultado, em 1689, após Jaime ter sido afastado do trono e exilado, Newton foi eleito membro do Par­lamento. Ocupou o cargo durante vários anos mas nunca proferiu um discurso. Em uma oportunidade levantou-se. Fez-se imediata­mente um profundo silêncio para ouvir o gran­de homem. Pediu apenas que se fechasse uma janela porque havia uma corrente de ar que o incomodava.

Os infelizes esforços de seus amigos con­seguiram com que fosse nomeado administra­dor da casa da moeda em 1696 e promovido a diretor em 1699. Tornou-se assim responsa­vel pela emissão da moeda inglesa e recebia um salário altamente compensador. Quando morreu deixou um patrimônio avaliado em 30.000 libras (da época). Essa nomeação foi considerada como justamente devida a New­ton porém, como decretou o fim de sua carrei­ra científica, tratou-se de um verdadeiro cri­me. O matemático demitiu-se de seu cargo de professor para atender aos novos deveres. Iniciou seu trabalho com tamanho vigor e in­teligência que revolucionou a cunhagem da moeda e tornou-se o terror dos falsificadores.

Em 1703. foi eleito presidente da Royal Society (obviamente depois da morte de Hoo­ke) e foi reeleito cada ano, até sua morte. Em 1704. escreveu Opticks que resumia seus tra­balhos sobre a natureza da luz. Ao contrário de Principia, Opticks era redigido em inglês mas foi imediatamente traduzido para o latim a fim de ser divulgado entre os eruditos do Continente.

Seu cabelo havia-se tornado grisalho com a idade de 30 anos. mas as faculdades mentais mantiveram-se firmes até a velhice. Com 80 anos ainda possuía todos os dentes, via e ou­via perfeitamente e seu espírito continuava plenamente lúcido. Contudo, o trabalho na chefia da casa da moeda neutralizou-lhe o vi­gor e impediu a redação de uma segunda edi­ção de Principia até 1713.

Newton mereceu e obteve o respeito de seus contemporâneos como nenhum outro ci­entista havia conseguido antes (excetuando-se talvez Arquimedes [41]) ou conseguiria depois (com a possível exceção de Einstein [883]). Quando morreu foi sepultado na Abadia de Westminster. ao lado dos grandes heróis in­gleses. O grande literato francês Voltaire [227]. que nessa época visitava a Inglaterra comentou, surpreso. que a Grã-Bretanha hon­rava um matemático como as outras nações honravam um rei. A inscrição latina gravada em seu túmulo termina com a seguinte frase: “Mortais! Alegrem-se por tal jóia pertencer à raça humana!” Mesmo assim o orgulho nacio­nal ainda era poderoso e havia no Continente certa relutância em aceitar o sistema newtoni­ano. Levaria ele uma geração para alcançar a vitória definitiva.

Newton possuía a virtude da modéstia (ou. se não, pelo menos era bastante hábil para assumi-la). Teria pronunciado duas frases fa­mosas. Disse em uma carta endereçada a Ho­oke. em 1676: “Se consegui ver mais longe que outros seres humanos é porque subi em ombros de gigantes.” Teria também afirmado:

“Não sei que aspecto tomo aos olhos do mun­do. mas, para mim, tenho a impressão de ter sido uma criança que brinca à beira-mar e se diverte em descobrir um seixo mais liso ou uma concha mais bonita que as outras, en­quanto que o imenso oceano da verdade per­manece misterioso perante meus olhos.”

Contudo, outros homens, contemporâneos de Newton, subiram nos ombros dos mesmos gigantes e brincaram à beira dos mesmos ma­res. mas apenas ele, e mais ninguém, viu mais longe e achou os seixos mais lisos.

FOURIER, Jean Baptiste Joseph

Matemático francês nascido em Auxerre, Yonne, 21 de março de 1768 faleceu em Paris, 16 de maio de 1830.

Fourier era órfão desde os oito anos de idade. Quando jovem, estudou para padre, embora contra sua vontade, O que desejava era entrar para o exército, mas, como filho de alfaiate, só podia servir de bucha para ca­nhão. Veio então a Revolução Francesa, e ele se dedicou à artilharia, onde pôde usar a ma­temática, tema que o interessava, assim como também a Napoleão Bonaparte. que havia nascido apenas alguns meses após Fourier. Este não teve o mesmo sucesso que Bona-parte, uma vez que demonstrou muito talento para a matemática. Fourier tentou desempe­nhar apenas um pequeno papel na Revolução Francesa, e quase foi guilhotinado. No en­tanto, a queda de Robespierre salvou-o. Após formar-se na escola militar, recebeu convite para lecionar na mesma, em 1795. o que acei­tou.

Sua carreira continuou ligada à de Napo­leão. Acompanhou-o ao Egito em 1798. tendo governado uma província daquele país du­rante a ocupação francesa da região. utilizando-se dessa oportunidade para explo­rar o Alto Nilo. Em 1808, após ter feito suas grandes deséobertas matemáticas. Napoleão deu-lhe o título de barão. Fourier sobreviveu à queda do imperador e recebeu novas honras durante a restauração dos Bourbons. Em 1822 tomou-se secretário da Academia de Ciências, dividindo o cargo com Cuvier.

Fourier foi nomeado governador do Baixo-Egito quando de sua estada naquele país. Retornando à França tornou-se prefeito de Isére mas nesta época já dedicava grande parte do seu tempo às pesquisas. Em 1815 juntou-se outra vez a Napoleão na Campanha dos Cem Dias e depois da Segunda Restaura­ção instalou-se em Paris sendo eleito membro da Academia de Ciências em 1817.

Depois que Fourier deixou o Egito. se­guindo para a França, em 1801. passou a dedicar-se à ciência (sua aventura militar no Egito não tinha sido muito feliz e havia per­dido o interesse por esse tipo de coisas). Seu principal interesse era verificar de que forma o calor percorria um objeto de um ponto a outro. Isso dependia da diferença de tempera­tura entre os dois pontos, do tipo de objeto. da forma do mesmo, etc. O assunto era bas­tante complexo.

Fourier reuniu todos os seus conhecimen­tos matemáticos e descobriu o que é atualmente denominado teorema de Fourier. Este afirma que qualquer oscilação periódica (ou seja, qualquer variação que. mais cedo ou mais tarde, se repita exatamente igual por vá­rias vezes), embora complexa. pode-se dividir em uma série de ondas regulares simples, cuja soma dará origem à variaçáo periódica com­plexa. O teorema pode ser expresso. em ou­tras palavras, em uma série matemática na qual os termos são funções trigonométricas. (Pelo método de Fourier os coeficientes de qualquer série deste tipo podem ser expressos de uma forma adaptável à computação.) Foi isso que, em 1807. trouxe a fama a Fourier. fazendo com que o mesmo recebesse o título de barão. Quando, em 1815. Napoleão voltou à França, após sua primeira abdicação e exílio em Elba. Fourier encontrou-se com ele. Com a segunda queda de Napoleão. em Waterloo. Fourier ficou afastado da sociedade francesa por algum tempo.

Foi apenas em 1822 que, utilizando-se de seu teorema. Fourier completou seu trabalho sobre o calor, em um livro intitulado Analytic Theory of Heat, obra que inspirou Ohm em seus trabalhos sobre a corrente elétrica. Em seu livro. Fourier foi o primeiro a deixar claro que uma equação científica deve envol­ver um grupo consistente de unidades. Foi assim que teve início a análise dimensional.

Este trabalho é considerado uma obra-prima da matemática e também um dos mais impor­tantes livros publicados no século XIX. Mar­cou época tanto no campo da matemática pura como no da matemática aplicada.

O teorema de Fourier tem um amplo va­lor. podendo ser utilizado no estudo do som e da luz, bem como em qualquer fenômeno on­dulatório. O tratamento matemático desse fe­nómeno. baseado no teorema de Fourier, e denominado análise harmônica.

Mesmo os grandes cientistas podem ter crenças irracionais. Fourier acreditava que o calor era essencial à saúde, de modo que sempre manteve sua casa superaquecida e agasalhava-se bastante. Morreu ao cair de uma escada.

PASCAL, Biaise

Matemático e físico francês nascido em Clermont-Ferrand, Auvergne, 19 de junho de 1623 faleceu em Paris, 19 de agosto de 1662.

Afortunadamente, em vista de sua curta existência e do fato de haver dedicado a últi­ma década da vida à teologia e à introspecção, Pascal logrou realizar um significativo número de coisas. Foi criança de saúde muito frágil e, de uma vez, chegou-se mesmo a pensar que morreria. Não obstante, revelou-se um prodi­gio do ponto de vista mental. Seu pai, funcio­nário do governo e também matemático, orientou-lhe a formação e, para começar, de­terminou que Pascal estudaria as línguas clás­sicas. Negou-lhe, porém, o acesso a quais­quer obras que versassem a matemática.

Ao ser inquirido sobre a origem da geome­tria e ao discorrer sobre o estudo das formas e figuras, o jovem Pascal foi adiante e desco­briu, por si próprio, as 32 primeiras proposi­ções da geometria euclidiana em sua correta ordem. (Tudo leva a crer que essa história, contada por sua irmã, seja estritamente verda­de ira.)

Com apenas 16 anos de idade, Pascal pu­blicou um livro sobre a geometria das secções cônicas que, pela primeira vez, desenvolveu o assunto muito além do ponto em que o ha­via deixado Apolônio [43] cerca de dezenove séculos antes. Descartes recusou-se a acreditar que um adolescente de 16 anos de idade pudesse haver escrito a obra, e Pascal, por sua vez, negou o valor da geometria analí­tica cartesiana. Em 1642, quando contava apenas 19 anos de idade, Pascal inventou uma máquina de calcular que, através do emprego de rodas dentadas, era capaz de somar e de subtrair. Patenteou então o seu invento e en­viou um modelo do mesmo à protetora real do saber, a Rainha Cristina da Suécia, dela esperando algum benefício, o que, porém, não conseguiu obter. Era muito dispendioso mon­tar o engenho de modo a que o mesmo se tor­nasse completamente operacional. Não obs­tante, foi essa máquina a precursora da estru­tura mecânica que deu origem à atual caixa-registradora.

Pascal manteve correspondência com o matemático e advogado Fermat e, junta­mente com este, trabalhou em problemas que a eles havia proposto um certo jogador da so­ciedade e filósofo amador, o qual se mostrava perplexo diante do fato de perder dinheiro em apostas feitas sobre determinadas combina­ções no jogo de três dados. Ao tentarem equacionar o problema, os dois cientistas lan­çaram os fundamentos da moderna teoria da probabilidade.

Isso teve inestimável importância para o desenvolvimento da ciência porque insuflou na matemática (e no mundo em geral) a neces­sidade da certeza absoluta. Os homens come­çaram a ver que informações úteis e seguras poderiam ser obtidas até mesmo sobre assun­tos em torno dos quais reinava a mais comple­ta incerteza. Ao-cair sobre uma superfície, de­terminada moeda pode mostrar ou cara, ou coroa, mas esta ou aquela, em qualquer parti­cular instância, são impredizíveis. Contudo, ao lançar-se essa moeda um grande número de vezes, separadamente imprevisíveis, podem-se tirar, com razoável segurança, con­clusões quanto à natureza geral desses lança­mentos (assim como, da mesma forma, pode-se concluir que o número de vezes em que dá cara será aproximadamente igual ao que dá coroa).

Dois séculos depois, o físico e matemático Maxwell aplicou tais considerações ao comportamento da matéria e obteve resulta­dos ininteligíveis, fortuitos, e movimentos to­talmente imprevisíveis por parte de átomos in­dividuais.

Pascal dedicou-se também à física. Ao es­tudar os fluidos, salientou que a pressão exer­cida sobre estes em recipiente fechado era transmitida com progressiva diminuição por todas as partes do fluido e que a mesma atua­va em ângulo reto sobre todas as superfícies que tocava. Este é o chamado princípio de Pascal, que constitui a base da pressão hi­dráulica e que por ele foi descrita do ponto de vista teórico.

Se um pequeno pistão for pressionado para baixo em um recipiente que contenha li­quido, um grande pistão poderá ser empurra­do para cima, em outro lugar, dentro do mes­mo recipiente. A força que impele para cima o pistão maior será a que impele o menor para baixo, assim como a área da secção transver­sal daquele será a da secção transversal deste. Essa multiplicação de força é devida ao fato de o pistão menor mover-se ao longo de uma distância correspondentemente maior do que a que percorre o pistão maior. Como no caso da alavanca de Arquimedes, a força muItiplicada pela distância é igual em ambos os lados. A rigor, a pressão hidráulica constitui uma espécie de alavanca.

Pascal também demonstrou interesse pela nova concepção sobre a atmosfera lançada por Torricelli. Se a atmosfera tinha peso, então esse peso diminuiria com a altitu­de, pois quanto mais alto nos elevamos, me­nos ar existe acima de nós. Essa diminuição do peso atmosférico pode ser detectada atra­vés do barômetro.

Pascal foi um enfermo crônico, que sofria continuamente de indigestão, cefaléias (um exame post mortem demonstrou que seu crâ­nio apresentava deformaçôes) e insônia, sen­do, por isso, incapaz de escalar uma monta­nha com suas próprias forças. Certa vez, po­rém, em 1646 ordenou a seu jovem e forte cunhado que galgasse as encostas do Puy­de- Dôme (montanha perto da qual Pascal nas­cera) com dois barômetros. O cunhado subiu cerca de uma milha e constatou que as colu­nas de mercúrio dos mesmos haviam baixado de três polegadas. O cunhado de Pascal viu-se obrigado a fruir das delícias do alpinismo por mais cinco vezes, a fim de que o sábio pudes­se repetir a experiência. E isso estabeleceu definitivamente a procedência da concepção torricelliana, apesar da persistente desconfi­ança de Descartes. Provou também a experi­ência, além disso, que havia vácuo acima da atmosfera, o que anulava o cepticismo cartesi­ano quanto à possibilidade de existência de vácuo e sua alegação de que todo o espaço estaria ocupado pela matéria. (Pascal repetiu também a experiência original de Torricelli,

usando vinho tinto em lugar de mercúrio. Por ser esse vinho sempre mais leve do que a água, Pascal teve de usar um tubo de 13,8m de comprimento a fim de que o mesmo conti­vesse fluido bastante para contrabalançar o peso da atmosfera.)

No mesmo ano da escalada da montanha, Pascal começou a sofrer a influência do janse­nismo (corrente de pensamento católica mar­cada por forte sentimento antijesuítico). Em 1654 escapou por pouco de morrer quando os cavalos de sua carruagem dispararam. Pascal interpretou o incidente como uma evidência do descontentamento divino e sua conversão tornou-se suficientemente fervorosa para levá-lo a consagrar o resto de sua breve exis­tência à meditação, ao ascetismo, aos escritos religiosos (entre os quais se incluem as céle­bres Pensées [Pensamentos]) e à enfermida­de. Tais escritos são excepcionais e inspira­dos em Voltaire, mas Pascal jamais vol­taria a ocupar-se de ciência, a não ser durante uma semana, em 1658, quando, para aliviar as dores de dente que então o atormentavam, re­solveu distrair-se com um problema geométri­co, que solucionou com grande simplicidade. É fato que, em seus últimos dias de vida, Pas­cal declarou que a razão jamais poderia servir como instrumento capaz de compreender o universo fenomênico, retrocedendo assim para aquém dos tempos de Tales.Sua observação mais notável nada tem a ver com a ciência. Foi a de que, se o nariz de Cleópatra fosse modelado de outra manei­ra, é possível que a história do mundo tivesse sido alterada.

CARDANO, Girolamo

Matemático italiano nascido em Pavia, em 24 setembro de 1501 e faleceu em Roma em 21 de setembro de 1576.

Cardano, filho ilegítimo de um matemáti­co, nasceu praticamente morto e teve uma in­fância doentia e muito infeliz. Essa condição de bastardo amargurou também a vida de adulto porque, após ter atingido a graduação médica, foi-lhe negada a entrada no Colégio Médico até haver ganho esse direito por uma clara demonstração de perícia nesse campo.

Foi o primeiro a descrever clinicamente a doença que hoje se conhece como febre tifói­de. Em 1552, curou um cardeal escocês de asma, proibindo-lhe o uso de penas em sua cama, O fato mostrou claramente uma com­preensão intuitiva do fenômeno alérgico. Era também astrólogo convicto do valor desta ci­ência, e não ligava muito ao número de fra­cassos das predições. Tentou (assim dizem) estabelecer o horóscopo de Cristo, o que lhe valeu um certo tempo de prisão.

Era um consumado velhaco e tratante, um trapaceiro, um impostor dado a crises de raiva assassina, um Insuportável presunçoso e, ape­sar de tudo, um matemático de primeira clas­se. Foi o primeiro, por exemplo, a reconhecer ã valor dos números negativos e imaginarios. Seu espírito de trapaceiro manifesta-se tam­bém em um livro sobre a matemática da pro­babilidade — prelúdio ao estudo completo do assunto efetuado por Pascal e Pierre de Permat.

Obteve de Tartaglia o método desti­nado a solucionar equações de terceiro grau, em 1539, e o publicou seis anos depois, apesar de haver jurado solenemente guardar o segre­do, atitude que manchou para sempre sua me­mória. Não obstante, atribuiu o método a Tartaglia. embora o processo continuasse a ser conhecido como a “regra de Cardano”.

A importância do acontecimento reside em que despertou a controvérsia da ética do se­gredo científico. Decidiu-se finalmente que o segredo representava grande dano para a ciên­cia e que o crédito de qualquer descoberta de­via ser atribuio não ao descobridor, mas a quem primeiro a publicasse. Essa decisão é agora universalmente aceita, mas chegou a ge­rar algumas injustiças, como no caso de Sche­ele e de John Couch Adams. No geral, porém. Cardano serviu muito à causa da ciência.

Os últimos anos da vida de Cardano foram trágicos. Seu filho favorito desposou uma mu­lher imprestável, que o traiu repetidas vezes. O filho reagiu e assassinou a esposa; apesar dos esforços de Cardano em sua defesa, o moço foi executado em 1560. Cardano teve o coração partido, e o fato de ter outro filho constantemente na cadeia por varmos crimes não o ajudou em nada. Ele mesmo nem sem­pre escapava do castigo pelas suas trapaças. Passou algum tempo em prisão por dívida ou heresia, ou mais provavelmente por haver praticado ambas as faltas.

Circula insistentemente a história de que. já idoso, Cardano teria previsto (astrologica­mente) o dia de sua própria morte. Quando o dia chegou e encontrou-o em perfeita saúde, matou-se.

Pitágoras

Pitágoras foi um filosofo, astrônomo e Matemático grego nascido em Samos, em 582 a.C. e faleceu em Metaponto em 497 a.C. Supõe-se que ele, assim como os demais antigos sábios da Grécia, haja viajado intensamente pelo Egito e pelo Oriente, e é quase certo que tenha feito. Consta também que estudou com Anaximandro ou até mesmo com o próprio Tales.

Todavia, o primeiro acontecimento em sua vida a que se poder dar crédito é a sua partida de Samos, 529 a.C., e sua ida para Crotona, na Itália meridional. Conforme as tradições, as andanças de Pitágoras foram exclusivamente o resultado de uma severa lei de Samos por parte do tirano Policrates. Qualquer que tenha sido a causa, tais andanças estenderam a tradição filosófica e cientifica as mais distantes regiões ocidentais desse mesmo universo.

Em Crotona, Pitágoras rompeu como racionalismo da tradição grega oriental e fundou um culto caracterizado por ser secreto, pelo ascetismo e pelo misticismo. O culto pitagórico proibia atiçar fogo com uma vareta de ferro e comer favas. Ensinava também a doutrina da metempsicose (transmissão de almas). Conta-se que Pitágoras ordenou a um homem que parasse de espancar um cão, afirmando que reconheceu no latido do animal a voz de um amigo já falecido. Isso poderá ser sido apenas um impulso humanitário da parte de Pitágoras, ou talvez muitos inimigos do pitagorismo a fim de levar o culto ao ridículo.

Sob muitos aspectos, o pitagorismo que desde então dominara a Grécia, ainda que destes ele difira ao interesse que revelaram os discípulos e seguidores de Pitágoras pela matemática e astronomia. O culto pitagórico adquiriu forte poder político durante os últimos anos de vida do filosofo de Samos e, via de regra, era seguido pelos representantes da aristocracia. Ainda durante o curso da vida de Pitágoras, porem, os lideres da democracia iniciaram a batalha para obter o controle da Itália Meridional e, a parti de então, oculto passou a sofre perseguições. Pitágoras viu-se exilado de Crotona por dez anos antes da suas morte. O pitagorismo sobreviveu enquanto culto ativo somente por cerca de um século depois da morte de seu fundador.

A impopularidade que envolveu em razão das atividades políticas a ele inerentes deu origem a violenta onda de perseguições que se difundiu por quase todo o mundo grego. Por volta de 350 a.C., o pitagorismo estava completamente extinto. A influencia de suas idéias, todavia, persistiu até os tempos modernos, e Pitágoras permaneceu como o mais famoso dentre todos os antigos filósofos gregos. Supõe-se, na verdade, que havia sido ele o criador da palavra filosofo.

Devido ao esoterismo que envolvia as crenças dos pitagoricos, torna-se muito difícil precisar em consistiam elas , ou quanto é correto o que a elas atribuíram os antigos escritores gregos. Em particular, é extremamente difícil falar sobre a paternidade do que pertence ao próprio Pitágoras e daquilo que foi elaborado por seus diversos seguidores entre eles Filolau.

O maior êxito cientifico atribuído a Pitágoras registrou-se no campo da acústica. Descobriu ele que as cordas dos instrumentos musicais produziam um som tanto mais altos quanto mais curtas fossem. Posteriormente, descobriria ele que a relação entre as alturas do som poderia ser facilmente correlacionado com o comprimento de onda sonora. Por exemplo, se uma corda fosse duas vezes o comprimento da outra, o som por ela emitido seria exatamente uma oitava abaixo. Se a proporção das cordas fosse de 3/2, o intervalo musical então produzido seria de um quinto e se aquela proporção fosse de 4/3, o intervalo a ser produzido equivaleria a um quarto. Pelo aumento da tensão das cordas, produziria-se também a elevção do som.

Beneficiados por tais observações, o estudo do som torna-se-ia o único ramo da física em que os pontos de vista dos gregos permaneceriam inalteráveis até os tempos atuais.

Esse estudo poderá ter levado Pitágoras à crença de que todo o universo repousava sobre números e suas relações, posto que ele ou seus seguidores continuaram a revestir os números com toda a sorte de significados místicos. Hoje essas noções parecem uma tolice, mas a verdade é que os pitagoricos encorajaram a investigação das propriedades matemáticas dos números. Foram eles que descobriram que a raiz quadrada de dois poderia não ser expressa como a proporção de dois números. Nenhuma fração concebível por mais complicada que seja, dará o produto dois quando multiplicada por si própria.

Eis um simplíssimo conceito que não poderia ser aplicado ao conjunto global do números. Como poderiam então os números ser responsáveis por algo tão complexo como a totalidade do universo? Os pitagoricos supunham restrito a eles próprios o segredo relativo a cada número irracional afim de que não os escarnecesse nenhum estranho. Seja como for, ocultaram-no zelosamente, e há uma historia, segundo a qual os pitagoricos executaram um dos seu seguidores por falar demais sobre o assunto. Provavelmente, entretanto, essa historia não passa de calunia inventada por alguns dos muitos inimigos.

Pitágoras tornou-se talvez mais conhecido por ser o primeiro a formular a proposição de que o quadrado da medida da hipotenusa de um triangulo retângulo é igual a soma dos quadrados das medidas dos catetos. Essa preposição e conhecida ainda hoje como teorema de Pitágoras.

Pitágoras foi também o primeiro entres os gregos de que a estrela matutina (Estrela D’alva) e a estrela vespertina ( Vésper ou Hésper ) eram de fato a mesma.Tempos depois de sua morte, foi ela chamada de Afrodite, e hoje a conhecemos como o planeta Vênus. Foi ele também o primeiro a observar que a órbita da Lua não se situava no plano do equador terrestre, e sim se inclina para forma um ângulo com esse plano.

Pitágoras foi o primeiro homem de que se tem conhecimento a afirma que a terra tem a forma esférica, assim como foi o primeiro dos filósofos gregos a chamar a atenção de todos para o fato de que o Sol, a Lua e os diversos planetas, não possuíam o movimento uniforme das estrelas, revelando que cada um deles tinha trajetória própria e distinta. Nasceu assim o de que, alem das esferas celestes postulada por Anaximandro, outras esferas se moviam ao redor dos vários planetas. Ao longo dos sete séculos que se seguiram, o numero de esferas necessárias para constituir o movimento dos planetas multiplicou-se e ao longo de vinte e um séculos haveriam de transcorre antes que Kepler afinal a suprimisse.

Evariste Galois

"Morto jovem matemático na idade de 20 anos, assassinado brutalmente num duelo de armas duvidoso". Assim deixou Evariste Galois (1811+21=1832) um mundo de luto por não ter conseguido entender sua genialidade precoce. Bebida, mulheres, política e matemática, Galois contém uma história de vida em que certamente daria para escrever uma novela.
Galois nasceu em Bourg-la-Reine, França, no seio de uma família que, apesar de não ser rica, propiciou à criança uma infância sadia. Aos doze anos ingressa na escola e já começa a demonstrar suas primeiras afinidades com a matemática e a política. Naquela época Napoleão há havia sido deposto e restaurada a monarquia, porém o jovem, já tendo decidido pela república, em um ato de homenagem na sua escola à sua majestade deixou propositadamente cair a taça na hora do brinde; em outra oportunidade havia soltado um forte arrôto na presença de um côro de estudantes que iriam se apresentar ao rei - apenas ensaios do que estava por vir.

Os tempos vão passando e Galois vai se aprofundando mais e mais na política, revelando ser um republicano nato. Ao mesmo tempo vai ensaiando o momento de ingressar na célebre Écòle Polytechnique, fundada pelo próprio Napoleão e responsável pela criação dos maiores e melhores engenheiros da França. Prepara-se para os exames mas não consegue lograr êxito - seu despreparo nas outras matérias o afastam durante um tempo do seu sonho - Galois tinha 16 anos.

Sua reprovação não o impede de tentar mais uma vez o ingresso na Universidade. Então decide estudar com afinco, se preparando de verdade e, é claro, não deixando de frequentar as conferências da sociedade "Amigos do Povo", e mesmo as aulas da Polytechnique como aluno-ouvinte. Estas aulas seriam de muita valia para a Teoria matemática que estava descobrindo - a Teoria dos Grupos.

Nesta época o jovem matemático estava ocupado resolvendo equações algébricas e tinha reparado que não conseguia resolver as de quinto grau. Hoje boa parte dos estudantes sabem resolver equações do tipo ou , que são respectivamente equações do primeiro e segundo graus. Resolvê-las significa achar o "xis" que torna a igualdade verdadeira, e no primeiro caso a solução é quase instantânea. Já no outro não é tão trivial assim e existe uma técnica de resolução chamada "Fórmula de Báskara" (em homenagem a um sábio hindu do século 12) que permite solucioná-la apenas com os números que aparecem na equação ao lado dos "xizes" ou isolado (no caso são o 1, o -5e o 6), chamados no linguajar matemático de coeficientes ou "radicais". Uma equação do terceiro ou quarto grau sempre possuiu um expoente em x respectivo e soluções, ou fórmulas, do tipo Báskara, só que um pouquinho mais complicadas.

A pergunta que Galois fazia era se realmente haveria algo parecido para equações do quinto grau. Neste ponto ele postula que "uma equação algébrica pode ser resolvida por meio de radicais se, e só se o seu grupo for resolúvel", onde pela primeira vez aparece a palavra "grupo". A partir deste estudo ficou provado que não existe uma fórmula tipo Báskara para equações de grau maior ou igual a 5, ou seja, que se permita obter a solução, ou o "xis" a partir dos coeficientes.

Realmente o estudo que o jovem matemático fez não deve ter espantado muito a quem não está acostumado ou mesmo não gosta de matemática. Mas as aplicações que surgiram posteriormente hoje demonstram uma grande importância na ciência e tecnologia. Um exemplo de aplicação pode ser visto se o leitor estiver com algum livro nas proximidades. Se o decidir pegá-lo poderá observar uma propriedade importante dos grupos. A única coisa de necessário a notar no livro é a frente e o verso. Feito isso gire-o duas vezes com rotações de 90 graus cada uma. A brincadeira é tentar repetir a sequência na ordem invertida. A nova matemática de Galois demonstra que é impossível inverter a sequência das rotações e obter o mesmo resultado (a menos que sejam rotações com ângulos pequenos). E se o leitor reparar um pouquinho poderá imaginar que os movimentos do livro poderiam também ser os movimentos do braço de um robô industrial, de um satélite em órbita, ou de seu próprio pulso. Logo, todos os sistemas que executam rotações obedecem à Álgebra Grupal ,ou melhor, a chamada Álgebra Galoana.

Ao lado de seus estudos de matemática continuaria a se ocupar de suas motivações políticas e de seu objetivo maior: a deposição do rei da França e a instauração da República. Com sua atuação consegue atrair tanto simpatizantes à sua causa como a inimigos que queriam prendê-lo ou mesmo matá-lo. Mas como fazer isto a um garoto de 17 anos?

Aos dezoito a vida de Galois tomou um rumo definitivo. Uma saraivada de acontecimentos infelizes surgem na frente deste jovem: a sua segunda e última frustrada tentativa de adentrar na Polytechnique, a paixão por uma mulher infame e o suicídio de seu pai, causado por mesquinhas intrigas políticas. Além disto tudo houve a recusa da publicação de seus trabalhos matemáticos por terem sido taxados de "obscuros" ou "inintelegíveis". Também como se podia imaginar que suas idéias só seriam utilizadas com o advento do computador? A partir de então praticamente larga seus estudos e começa a agredir fortemente as instituições, principalmente a Monarquia, sendo várias vezes preso. Em uma das reuniões do partido à qual pertencia levanta, embriagado, um brinde de "-morte ao rei!", sacando depois um pequeno canivete. Mas de todas as frustações e infortúnios que a vida lhe impetrou, foi justamente da paixão daquela infame mulher que sua morte viria.

Por motivos ainda não muito claros o jovem matemático decide vingar a honra ultrajada daquela mulher num duelo de armas de fogo. À última noite daquele fatídico dia, Galois, sabendo do seu adversário, e ainda tendo jurado não dizer a ninguém do desafio, passa a reescrever todas as suas teorias matemáticas e as remete por carta a seus amigos pedindo para que as publicassem; junto com estes trabalhos fez uma carta aos colegas republicanos e uma última, muito profunda, destinada à sua mãe. Galois faleceu em 30 de maio de 1832 aos 20 anos de idade.

Porém ainda hoje a vida e os acontecimentos sofridos por Galois suscitam dúvidas e surgem outras hipóteses para a sua morte; algumas até mesmo fantásticas, para explicações a um grande hematoma na sua cabeça que constou em seu laudo, ou mesmo porque colocaram cal em seu caixão, se este era um costume antigo de prevenção a mortos que contraíram doenças contagiosas. Explicações para estes fatos podem ser encontrados em livros como Men of Mathematics de Eric Temple Bell ou Introdução à História da Matemática, de Howard Eves.

Niels Henrik Abel

De entre todos os talentos matemáticos do século XIX foi um dos mais brilhantes. Dele se disse “Deixou aos matemáticos material para mantê-los ocupados por quinhentos anos.” Foi o segundo filho do pastor da pequena ilha de Finnoy, perto de Arendal, na Noruega. Os ancestrais de seu pai, todos ligados à igreja, eram homens instruídos. Anne Marie Simonsen, mãe de Abel, era muito bonita e alegre. Dela Abel herdou estes dois atributos e o desejo de ter alguma coisa além do trabalho duro pelo resto da vida.

Este desejo raramente foi satisfeito. A fome reinava na Noruega como resultado das guerras com a Inglaterra e a Suécia. Tendo tido sete filhos o pastor via-se em grande dificuldade para encher-lhes os estômagos o que, muitas vezes, não era possível. Mas eles conseguiam manter a alegria de viver e suas cabeças erguidas. Como muitos matemáticos de primeira grandeza, Abel descobriu seu talento muito cedo.A educação na Noruega, nas primeiras décadas do século XIX era violenta. O caráter era aprimorado através de agressões físicas, o que atendia, paralelamente, à inclinação sadista de mestres pedagogos. Um colega de Abel morreu em virtude do cruel espancamento recebido de seu professor, o que foi considerado excessivo até para o rude conselho escolar. Este professor foi despedido e substituído por um matemático brilhante, Bernt Michael Holmboë (1794-1850) que mais tarde publicou a primeira edição dos trabalhos de Abel, em 1839. Abel tinha quinze anos. Até então não tinha demonstrado qualquer talento, exceto encarar suas dificuldades com senso de humor. Sob o bondoso ensino do iluminado Holmboë Abel, repentinamente, descobriu-se.

Biografia
Aos dezesseis anos começou, por conta própria, a digerir integralmente os maiores trabalhos de seus predecessores, inclusive Isaac Newton, Leonhard Euler e Lagrange. A partir de então, a matemática tornou-se sua favorita ocupação e seu maior divertimento. Ao lhe perguntarem, alguns anos mais tarde, como ele tinha conseguido adiantar-se tão rapidamente para o primeiro escalão, ele respondeu: “Estudando os mestres e não seus alunos”. Holmboë e Abel logo se tornaram grandes amigos. Embora o professor não fosse um matemático criativo, conhecia e apreciava as obras primas da Matemática, e sob sua orientação Abel logo estava dominando os mais difíceis clássicos, inclusive a Disquisitiones Arithmeticae de Gauss.É sabido, hoje, que muitas provas matemáticas aceitas pelos velhos mestres não eram provas reais. Leonhard Euler e Lagrange, o primeiro com as séries infinitas e o segundo com sua análise, não resistiram ao crivo de Abel, que detectou as falhas do raciocínio de seus predecessores.

Muito cedo resolveu devotar uma grande parte do trabalho de sua vida para a busca destas falhas, apresentando uma prova inquestionável. Sua obra abrange a álgebra e a teoria das funções. Em 1824, ainda estudante, Abel estudou rigorosamente o domínio de convergência da série do binômio (a+b)n, generalizando ao máximo o teorema desenvolvido por Newton e Euler, bem como transformou radicalmente a teoria das integrais elípticas. O pai de Abel morreu em 1820 com a idade de quarenta e oito anos. Abel tinha dezoito anos. Caiu sobre seus ombros a responsabilidade da família inteira. Ele se antevia, muito justamente, como um honrado e moderadamente próspero professor da universidade, quando poderia prover a família com razoável segurança. Enquanto isto não acontecia, dava aulas particulares, revelando-se um grande professor. Caso ele fosse livre e desembaraçado, a pobreza não o teria incomodado, mas com sete bocas para alimentar... Nunca reclamou. Trabalhava o dia inteiro e pesquisava matemática em todos os minutos de que podia dispor.

Convencido de que tinha diante de si um dos maiores matemáticos de todos os tempos Holmboë fez o que pode para obter subsídios para o jovem, abrindo em seu favor, generosamente, sua modesta bolsa. Pouco pode obter. O país estava pobre e faminto. Nestes anos de privação e trabalho incessante, Abel imortalizou-se e plantou as sementes da doença que o mataria antes que ele tivesse feito a metade de seu trabalho.A primeira aventura ambiciosa de Abel foi o ataque às equações de quinto grau. Todos os seus grandes predecessores em álgebra tinham exaurido seus esforços para apresentar uma solução sem sucesso. Esta busca vinha desde a Renascença, quando matemáticos italianos encontraram uma solução genérica para as equações de terceiro e quarto grau. Imagina-se a exultação de Abel quando acreditou ter conseguido o que nenhum outro encontrara. Através de Holmboë, a suposta solução foi mandada para o maior matemático do tempo na Dinamarca que, felizmente para Abel, disse precisar de mais algumas informações antes de emitir um julgamento. Neste meio tempo Abel já tinha descoberto uma falha no seu raciocínio. A solução ainda não fora encontrada. Esta falha deu-lhe um salutar solavanco atirando-o no caminho certo: ele demonstrou a impossibilidade de se resolver, por métodos algébricos, a equação geral de quinto grau.

Sua irreprimível inventividade levou-o para um problema maior antes que tivesse tempo de retornar a este; sua solução - a explícita declaração da necessidade de condições adequadas para que uma equação algébrica fosse solucionável algebricamente - estava reservada para Galois.Em junho de 1822, quando Abel tinha dezenove anos, ele completou o seu trabalho para a Universidade de Kristiania. Holmboë tinha feito todo possível para aliviar a pobreza do jovem, convencendo seus colegas de que eles também deveriam subscrever para tornar possível a Abel continuar suas pesquisas matemáticas. Embora todos estivessem orgulhosos dele, sendo eles próprios também pobres, nada puderam fazer. Abel rapidamente ultrapassou a Escandinávia. Ele desejava visitar a França, então a rainha da Matemática do mundo, onde poderia encontrar os grandes pilares (ele encontrava-se muito acima de alguns deles, mas não o sabia). Sonhava também visitar a Alemanha e encontrar Gauss, o inquestionável príncipe de todos eles. Os matemáticos e astrônomos amigos de Abel persuadiram a Universidade a pedir ao Governo Norueguês subsídios para que o jovem fizesse uma grande viagem ao Continente Europeu. Para convencer as autoridades do seu valor, Abel apresentou um extenso artigo.Infelizmente a Universidade estava atravessando grandes dificuldades financeiras e o artigo foi perdido. Depois de muita negociação, o governo decidiu, ao invés de mandar Abel imediatamente para a França e Alemanha, oferecer subsídios para que aprendesse, na universidade de Kristiania, francês e alemão, preparando-o para sua viagem. Abel passou um ano se esforçando, sem grande sucesso, para aprender as línguas e trabalhando incessantemente em sua matemática. Por seu incurável otimismo, ele também ficou noivo de uma jovem - Crelly Kemp.

Finalmente, em 27 de agosto de 1825, com vinte e três anos, Abel e seus amigos superaram a última objeção do Governo, e um decreto real garantiu-lhe bolsa de estudos para a França e Alemanha. Era uma bolsa modesta, mas o fato de que tivessem dado alguma coisa, na dificílima situação financeira do país, diz muito do nível de civilização da Noruega em 1825.Do próprio bolso Abel pagou pela impressão de seu artigo, no qual é provada a impossibilidade de solução algébrica das equações gerais do quinto grau.Abel tomou conhecimento da reação de Gauss ao receber seu artigo: sem dignar-se a lê-lo, jogou-o num canto exclamando “aqui está mais uma monstruosidade!” Decidiu não mais procurar Gauss, passando a criticá-lo sempre que podia. Não se pode saber quem perdeu mais com esta antipatia mútua. Gauss tem sido criticado por sua arrogância mas, naquele tempo, o problema das equações gerais de quinto grau tinha se tornado notável. Os idiotas e os respeitáveis matemáticos tinham tentado resolvê-lo havia mais de um século. Daí a impaciência de Gauss. Foi uma pena. Uma palavra que ele tivesse dito favorável a Abel, caso tivesse lido o artigo, dar-lhe-ia imediatamente crédito total. Até mesmo sua vida poderia ter sido prolongada.Tendo deixado seus dependentes protegidos, Abel partiu. Sua primeira visita foi ao notável matemático e astrônomo da Noruega e Dinamarca, onde teve a sorte de encontrar August Leopold Crelle (1780-1856). Crelle ajudou a fazer a reputação de Abel, mas este mais do que pagou pela ajuda fazendo a reputação de Crelle. Todos os grandes matemáticos de hoje conhecem Crelle; “Crelle” significa, no mundo matemático, o grande jornal “Journal für die reine und angewandte Mathematik” (Jornal para Matemática pura e aplicada) que ele fundou. Os primeiros três números continham vinte e dois artigos de Abel. O jornal tornou-o largamente conhecido dos matemáticos do Continente. Crelle tinha grande habilidade para os negócios e seu instinto para encontrar bons colaboradores fez mais pelo progresso da matemática do século XIX do que meia dúzia de grandes academias. Crelle era um autodidata amante da matemática, muito mais do que um matemático criativo. Sua profissão era a engenharia civil. Tornou-se famoso, tendo feito um bom pé-de-meia, ao construir a primeira estrada de ferro da Alemanha. O jornal foi o primeiro periódico no mundo devotado exclusivamente à pesquisa matemática. Informações sobre assuntos conhecidos não eram aceitas. Qualquer pessoa podia enviar suas contribuições, que seriam aceitas caso o assunto fosse novo, verdadeiro e de importância significativa. Regularmente, de três em três meses desde 1826 até 1937, “Crelle” se mantém trazendo sempre um novo grupo de bons matemáticos. No caos depois da Primeira Guerra Mundial, “Crelle” capengou e quase caiu, mas foi sustentado por seus assinantes de todo o mundo que não desejavam ver este grande monumento desaparecer. Hoje há centenas de periódicos devotados, inteiramente ou em grande parte, ao desenvolvimento da matemática pura e aplicada. Quantos deles sobreviverão à próxima epidemia de insanidade ninguém sabe. Abel chegou em Berlim em 1825. Procurou Crelle, que pensou estar diante de um candidato à Escola de Comércio onde se encontrava como examinador. Começou imediatamente a informá-lo sobre as provas que teria que fazer para obter a matrícula. Depois de algum tempo em que Abel ouviu, muito embaraçado, abriu a boca e disse em péssimo alemão: “Exame não; apenas matemática.” Percebendo que em alemão haveria pouca probabilidade de virem a se entender, Crelle experimentou o francês. Embora com muita dificuldade, Abel, pelo menos, conseguia expressar-se. Crelle perguntou o que ele havia feito em matemática. Diplomaticamente, Abel disse ter lido, entre outras coisas, o recente jornal de 1823, onde se encontrava um artigo muito interessante sobre factoração. Tinha considerado o artigo muito interessante mas - então, menos diplomaticamente prosseguiu dizendo - há naquele trabalho muitos erros. Foi neste momento que Crelle mostrou sua grandeza. Ao invés de gelar e despedir o jovem presunçoso que tinha diante de si, disse: “explique melhor”. A partir deste momento eles tiveram uma longa discussão matemática na qual apenas algumas partes eram entendidas por Crelle. Mas, entendendo ou não, ele apercebeu-se que se encontrava diante de um gênio da matemática. Antes do final desta primeira entrevista, Crelle já decidira que Abel seria um dos primeiros contribuintes do jornal que estava projetando criar. Nesta longa conversa inicial, Abel arriscou apresentar sua prova da impossibilidade de solução para as equações algébricas do quinto grau. Crelle não quis ouvir falar dela; para ele alguma coisa deveria estar errada. De qualquer forma, aceitou uma cópia do artigo, olhou-o por alto, admitindo que o raciocínio estava acima de sua capacidade e, finalmente, publicou a prova de Abel em seu jornal. Embora fosse um matemático limitado, sem qualquer pretensão científica, Crelle tinha uma mente aberta e era, de fato, um grande homem.Crelle levou Abel a todos os lugares, apresentando-o como o melhor matemático descoberto até então. O suíço Steiner - “o maior geômetra desde Apollonius” - algumas vezes acompanhava-os em suas idas e vindas. Quando os amigos de Crelle viam-no chegar, rebocando seus dois gênios, diziam: “ Aí vem Pai Adão outra vez com Caim e Abel”.

A generosa sociabilidade de Berlim começou a distrair Abel de seu trabalho e ele voou para Freiburg, onde poderia concentrar. Em Freiburg, deu os retoques finais em sua obra prima, a criação do que é hoje conhecido como o Teorema de Abel. A seguir, teve que partir para Paris, onde encontraria os mais importantes matemáticos daquele tempo: Legendre, Cauchy, e o resto todo. A recepção feita a Abel pelos matemáticos franceses foi extremamente civilizada. Apenas isto. Abel ficou desapontado com o resultado da visita para a qual ele havia olhado com tantas esperanças. Evidentemente, ninguém sabia quem ou o que ele era. E esforçaram-se muito pouco para saber. Todas as vezes que Abel abrira a boca para falar de seus trabalhos, eles imediatamente tomaram a palavra para falar das própria grandezas e dos trabalhos em que se encontravam envolvidos. Não fosse por sua indiferença, o venerável Legendre poderia ter aprendido alguma coisa acerca de sua paixão de toda a vida (integrais elípticas). Mas ele estava entrando na carruagem quando Abel o chamou e só teve tempo para um rápido e civil passe bem. Posteriormente ele desculpou-se lindamente. No final de Julho de 1826, Abel alojou-se em Paris, na casa de uma família pobre e exploradora que oferecia duas péssimas refeições ao dia e um quarto miserável por um aluguel exorbitante. Numa carta para Holmboë escreve suas impressões: Via a cidade como um deserto, embora muito barulhenta. Todos se encontravam no campo por ser verão. Observou que os franceses são muito mais reservados com estrangeiros do que os alemães, o que significa ser muito difícil para um iniciante tornar-se conhecido deles. Diz ter terminado um extenso tratado sobre certa classe de funções transcendentais (sua obra prima) que apresentaria à Academia de Ciência na segunda-feira seguinte. Diz ter mostrado este trabalho ao Sr. Cauchy, que mal se dignou a dar uma olhada. Demonstra sua certeza de que seu trabalho é muito bom, encontrando-se curioso para saber a opinião do Instituto sobre ele.Sentindo-se deprimido, irritadiço e solitário, decidiu ir a Vienna, onde tinha a esperança de ser bem recebido por Littrow, Burg e outros matemáticos. Abel deixou sua obra prima, que deveria ser entregue ao Instituto nas mãos de Cauchy, que estava demasiadamente ocupado com seus próprios trabalhos, não tendo tempo para examinar o memorial que lhe fora entregue. O que aconteceu, então, foi uma grande tragédia. Hachette, um matemático medíocre, apresentou o Memorial de Abel versando sobre funções transcendentais para a Academia de Ciências de Paris no dia 10 de outubro de 1826. Este trabalho, que representava simplesmente a mais significativa descoberta na matemática moderna, permaneceu ignorado até 1830. Isto aconteceu porque Legendre e Cauchy foram designados para referendar o trabalho. Legendre reclamou que o memorial era praticamente ilegível, escrito com uma tinta quase branca, as letras mal formadas; ficou decidido entre os dois que o autor deveria ser solicitado a apresentar uma cópia mais nítida. “Excelente alibi!” Cauchy levou o memorial para casa, jogou-o num canto qualquer e esqueceu-o. Este absurdo esquecimento é comparável, caso pudéssemos imaginar, a um egiptólogo esquecendo a Pedra de Roseta. Só por um milagre o memorial foi desenterrado depois da morte de Abel.

Jacobi, numa carta datada de 14 de Março de 1829 para Legendre, pergunta: “que descoberta é esta do Sr. Abel? Alguém a viu? Como pode ter acontecido que esta descoberta, talvez a mais importante feita neste Século, comunicada a sua Academia há dois anos, tenha escapado à atenção de seus colegas”? Este questionamento chegou ao conhecimento da Noruega e o cônsul norueguês em Paris levantou uma questão diplomática acerca do manuscrito perdido. Cauchy desenterrou-o em 1830. Foi impresso em 1841. A Academia desculpou-se, conferindo a Abel o Grande Prêmio de Matemática. Mas Abel já havia morrido. Quando ainda se encontrava em Paris, Abel consultou um bom médico. Ele achava que tinha um resfriado crônico. Foi-lhe dito que ele estava tuberculoso. Ele recusou-se a acreditar, viajando para uma curta visita a Berlim. Suas reservas estavam terminadas: só lhe restavam sete dólares. Voltou para casa na mais absoluta pobreza. Tinha grandes esperanças de que tudo ficaria bem logo. Certamente obteria um emprego na Universidade. Sua genialidade logo começaria a ser reconhecida.Nada disto aconteceu. A cadeira que estaria vaga para Abel foi preenchida pelo próprio Holmboë, a fim de que não fosse trazido um estrangeiro para o lugar. Entretanto, as coisas clarearam. A Universidade pagou a Abel o saldo que lhe era devido para a viagem e Holmboë enviava alunos para Abel. O professor de astronomia licenciou-se e sugeriu que Abel ficasse em seu lugar. Um bondoso casal, os Schjeldrups, tomaram-no a seus cuidados e trataram-no como se fosse seu próprio filho. Mas até o fim ele não pôde livrar-se do peso de seus dependentes, que o deixavam praticamente sem nada para si mesmo. Pacientemente, suportou-os. Em janeiro de 1829, Abel conscientizou que já não tinha muito tempo de vida. A evidência das hemorragias não podia ser negada. “Eu lutarei pela minha vida” ele gritava em delírio, mas em momentos mais tranqüilos, exausto, e tentando trabalhar, ele inclinava-se “como uma águia doente olhando para o sol” sabendo que suas semanas estavam contadas. Abel passou seus últimos dias em Froland, na casa de uma família inglesa onde sua noiva (Crelly Kemp) era governanta. Seus últimos pensamentos foram para o futuro dela. Escreveu para seu amigo Kielhau, “Ela não é bonita, tem cabelos vermelhos e sardas, mas é uma admirável mulher”. Abel desejava que Crelly e Keilhau casassem após a sua morte; e embora eles nunca tivessem se encontrado, fizeram o que Abel meio de brincadeira propusera. Até o fim Crelly insistiu em cuidar de Abel sem qualquer ajuda “para poder tê-lo, em seus últimos momentos, só para ela”.

Morreu na manhã de 6 de abril de 1829, com a 26 anos e oito meses. Dois dias depois de sua morte, Crelle escreveu para dizer que suas negociações tinham sido bem sucedidas e que Abel seria designado professor de matemática da Universidade de Berlim.

PRODUTOS NOTÁVEIS

1. Quadrado da soma de dois termos
(a+b)² = a² + b² + 2ab
2. Quadrado da diferença de dois termos
(a-b)² = a² + b² - 2ab
3. Diferença de potências (ordem 2)
a² - b² = (a+b)(a-b)
4. Cubo da soma de dois termos
(a+b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
5. Cubo da soma de dois termos na forma simplificada
(a+b)³ = a(a-3b)² + b(b-3a)²
6. Cubo da diferença de dois termos
(a-b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³
7. Identidade de Fibonacci
(a²+b²)(p²+q²) = (ap-bq)²+(aq+bp)²
8. Identidade de Platão
(a²+b²)² = (a²-b²)²+(2ab)²
9. Identidade de Lagrange (4 termos)
(a²+b²)(p²+q²)-(ap+bq)² = (aq-bp)²
10. Identidade de Lagrange (6 termos)
(a²+b²+c²)(p²+q²+r²) - (ap+bq+cr)²
= (aq-bp)² + (ar-cp)² + (br-cq)²
11. Identidade de Cauchy (n=3)
(a+b)³ - a³ - b³ = 3ab(a+b)
12. Identidade de Cauchy (n=5)
(a+b)5 - a5 - b5 = 5ab(a+b)(a²+ab+b²)
13. Quadrado da soma de n termos
14. Cubo da soma de n termos
15. Diferença entre os quadrados da soma e diferença
(a+b)² - (a-b)² = 4ab
16. Soma dos quadrados da soma e da diferença
(a+b)² + (a-b)² = 2(a²+b²)
17. Soma de dois cubos
a³+b³ = (a+b)³ - 3ab(a+b)
18. Soma de dois cubos na forma fatorada
a³+b³ = (a+b)(a²-ab+b²)
19. Transformação do produto na diferença de quadrados
ab = [½(a+b)]² - [½(a-b)]²
20. Diferença de potências (ordem 4)
a4-b4 = (a-b)(a+b)(a²+b²)
21. Diferença de potências (ordem 6)
a6-b6 = (a-b)(a+b)(a²+ab+b²)(a²-ab+b²)
22. Diferença de potências (ordem 8)
a8 - b8 = (a-b)(a+b)(a²+b²)(a4+b4)
23. Produto de três diferenças
(a-b)(a-c)(b-c) = ab(a-c) + bc(b-c) + ca(c-a)
24. Produto de três somas
(a+b)(b+c)(c+a) = (a+b+c)(ab+bc+ac) - abc
25. Soma de cubos das diferenças de três termos
(a-b)³ + (b-c)³ + (c-a)³ = 3(a-b)(b-c)(c-a)
26. Cubo da soma de três termos
(a+b+c)³ = (a+b-c)³ + (b+c-a)³ + (a+c-b)³ + 24abc
27. Soma nula de produtos de cubos por diferenças
a³(b-c)+b³(c-a)+c³(a-b)+(a+b+c)(a-b)(b-c)(a-c)=0
28. Soma de produtos de cubos com diferenças
a³(b-c)³ + b³(c-a)³ + c³(a-b)³ = 3abc(a-b)(b-c)(a-c)
29. Produto de dois fatores homogêneos de grau dois
(a²+ab+b²) (a²-ab+b²)=a4+a² b²+b4
30. Soma de quadrados de somas de dois termos
(a+b)²+(b+c)²+(a+c)²=(a+b+c)²+a²+b²+c²
31. Produto de quadrados de fatores especiais
(a-b)² (a+b)² (a²+b²)²=(a4-b4)²
32. Soma de quadrados de express. homogêneas de grau 1
(a+b+c)²+(a-b)²+(b-c)²+(c-a)²=3(a²+b²+c²)
33. Identidade de interpolação


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Roteiro da aps 2a. ETAPA

Roteiro de Matemática das AP´s 2ª. ETAPA
Professor : Henrique Melo
6º. Ano
 Ponto, reta e plano
 A reta
 Giros e ângulos
 Polígonos
 Triângulos e quadriláteros
 A idéia de fração
 Resolvendo problemas que envolvem frações
 Comparando números fracionários
 Obtendo frações equivalentes
 Reduzindo duas ou mais frações ao mesmo denominador

7º. Ano
 Igualdade
 Equações
 Conjunto universo e conjunto solução de uma equação
 Equações equivalentes
 Equações do 1º grau com uma incógnita
 Usando equações na resolução de problemas
 Aplicação das equações: as fórmulas matemáticas


8º. Ano
 Os produtos notáveis
 Fatorando polinômios
 introdução Geometria
 A reta
 Ângulos
 Reta transversal
 Ângulos correspondentes
 Ângulos alternos
 Ângulos colaterais

9º. Ano
 Resolvendo equações incompletas do 2º grau
 Resolvendo uma equação completa do 2º grau com uma incógnita
 Resolvendo problemas
 Estudando as raízes de uma equação do 2º grau
 Relacionando as raízes e os coeficientes da equação ax2 + bx + c = 0
 Escrevendo uma equação do 2º grau quando conhecemos as duas raízes
 Equações biquadradas
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CONDUÇÃO DO CALOR : NOVA TEORIA

CONDUÇÃO DO CALOR : NOVA TEORIA



Jean Baptiste Joseph Fourier nasceu em Auxerre, em 1768. Órfão aos 8 anos, Fourier foi colocado no Colégio Militar, dirigida pelos beneditinos.

Aos 12 anos, Fourier começou a mostrar parte do seu talento, redigindo sermões para sacerdotes de várias cidades. Dois anos mais tarde iniciou seus estudos de Matemática, conseguindo grande destaque. Considerado menino-prodígio, foi convidado a ingressar na ordem dos beneditinos mas, antes de ordenar-se, chegou a Revolução de 1789.

Fourier que sempre desejara ser militar, aderiu com entusiasmo à causa da Revolução. Com a criação da Escola Normal e da Escola Politécnica, das quais foi conferencista, Fourier começou a desenvolver os trabalhos que o imortalizaram como matemático. Data dessa época sua teoria para calcular raízes irracionais das equações algébricas, cujo estudo Newton iniciara.

Tendo acompanhado Napoleão no Egito, Fourier desenvolveu ali estudos de arqueologia, tornando-se especialista em egiptologia. Fourier trabalhou nessa época como engenheiro, dirigindo uma fábrica de armamentos do exército francês no Egito.

Voltando à França em 1812, Fourier desenvolveu, na sua obra "Memorial", uma teoria sobre a condução do calor, tornando-se precursor da Física-Matemática. Neste último estudo, o matemático francês foi levado a criar um novo tipo de desenvolvimento em série, diferente do método de Taylor por empregar funções periódicas em vez de potências, e que recebeu seu nome.

Em 1830 morreu Fourier; vítima de um aneurisma cerebral.

Jean B. J. Fourier ( 1768 - 1830)

Cego enxerga longe

Cego enxerga longe



Leonhard Euler nasceu em Basiléia, Suíça, onde seu pai era ministro religioso e possuía alguns conhecimentos matemáticos.

Euler foi aluno de Jean Bernoulli e amigo de seus filhos Nicolaus e Daniel, recebendo ampla instrução em Teologia, Medicina, Astronomia, Física, Línguas orientais e Matemática. Com o auxílio de Bernoulli entrou para a Academia de S. Petersburgo, fundada por Catarina I, ocupando um lugar na seção de Medicina e Fisiologia, e em 1730 passando a seção de Filosofia por ocasião da morte de Nicolaus e afastamento de Daniel. Tornando-se o príncipe matemático já aos vinte e seis anos, dedicou-se profundamente à pesquisa compondo uma quantidade inigualável de artigos, inclusive para a revista da Academia.

Em 1735 perdeu a visão do olho direito mas suas pesquisas continuaram intensas chegando a escrever até mesmo enquanto brincava com seus filhos.

Conquistou reputação internacional e recebeu menção honrosa na Academia das Ciências de Paris bem como vários prêmios em concursos.

Convidado por Frederico, o Grande, Euler passou 25 anos na Academia de Berlim, voltando á Rússia em 1786.

Euler ocupou-se de quase todos os ramos da matemática Pura e Aplicada sendo o maior responsável pela linguagem e notações que usamos hoje; foi o primeiro e empregar a letra e como base do sistema de logaritmos naturais, a letra grega p para razão entre comprimento e diâmetro da circunferência e o símbolo i para . Deve-se a ele também o uso de letras minúsculas designando lados do triângulo e maiúsculas para seus ângulos opostos; simbolizou logaritmo de x por lx, usou å Para indicar adição e f(x) para função de x, além de outras notações em Geometria, Álgebra, Trigonometria e análise.

Euler reuniu Cálculo Diferencial e Método dos Fluxos num só ramo mais geral da Matemática que é a Análise, o estudo dos processos infinitos, surgindo assim sua principal obra, em 1748, a "Introdução à Análise Infinita", baseando-se fundamentalmente em funções, tanto algébricas como transcendentes elementares (trigonométricas, Logarítmicas, trigonométricas inversas e exponenciais).

Foi o primeiro a tratar dos logaritmos como expoentes e com idéia correta sobre logaritmo de números negativos.

Muito interessado no estudo de séries infinitas. obteve notáveis resultados que o levaram a relacionar Análise com Teoria dos Números, e para a Geometria, Euler dedicou um Apêndice de "Introdução'' onde dá a representação da Geometria Analítica no espaço.

Euler escreveu em todos os níveis, em várias línguas, publicando mais de 500 livros e artigos.

Os dezessete últimos anos de sua vida passou em total cegueira mas o fluxo de suas pesquisas e publicações não diminuiu, escrevendo com giz em grandes quadros-negros ou ditando para seus filhos.

Manteve sua mente poderosa até os 76 anos quando morreu.

Euler foi descrito pelos matemáticos da época como sendo a própria "Análise encarnada".

POLINÔMIOS

Operações matemáticas com polinômios


Podemos realizar as operações de soma, subtração e multiplicação com polinômios. Também é possível realizar a divisão, porém não será visto neste tutorial por se tratar de algo mais extenso, possivelmente visto em tutoriais futuros.


Serão exemplificadas todas as operações com polinômios, através de exercícios práticos com as respectivas respostas.

- Operação de soma

a) Dados os polinômios f(x) = 3x – 1, g(x) = 2x² - 5x, determine f(x) + g(x)


Resolução:

f(x) = 3x – 1 +
g(x) = 2x² - 5x

(3x – 1) + (2x² - 5x) = -2x + 2x² -1

b) Dados os polinômios (fx) = 2x² + 2, g(x) = 4x² - 2x e h(x) = 3x² - 5


Determine f(x) + g(x) + h(x)

Resolução:

f(x) = 2x² + 2 +

g(x) = 4x² - 2x +

h(x) = 3x² - 5


(2x² + 2) + (4x² - 2x) + (3x² - 5) = 9x² - 2x – 3


- Operação de subtração

a) Dados os polinômios f(x) = 5x + 7, g(x) = 5x² - 8x, determine f(x) - g(x)

Resolução:

f(x) = 5x + 7 -

g(x) = 5x² - 8x

(5x + 7) - (5x² - 8x) = 13x - 5x² +7

b) Dados os polinômios (fx) = 7x² + 2x + 4x, g(x) = 2x² - 5x e h(x) = 3x – 6

Determine f(x) – g(x) – h(x)

Resolução:

f(x) = 7x² + 2x + 4x -

g(x) = 2x² - 5x -

h(x) = 3x - 6

(7x² + 2x + 4x) – (2x² - 5x) – (3x – 6) = 5x² + 7x + x + 6

- Operação de Multiplicação

a) Dados os polinômios f(x) = 4x + 2, g(x) = 3x² - 2x, determine f(x) . g(x)

Resolução:

f(x) = 4x + 2 .

g(x) = 3x² - 2x

(4x + 2) . (3x² - 2x) = 12x - 8x² + 6x² - 4x =

12x - 2x² - 4x

b) Dados os polinômios (fx) = 3x² + 2x + 3, g(x) = 2x - 5x

Determine f(x) . g(x)

Resolução:

f(x) = 3x² + 2x + 3 .

g(x) = 2x - 5x

(3x + 2x + 3) . (2x - 5x) =

6x² - 15x² + 4x² - 10x² + 6x – 15x =

-15x² - 9x