Roteiro de Matemática das AP´s 2ª. ETAPA
Professor : Henrique Melo
6º. Ano
Ponto, reta e plano
A reta
Giros e ângulos
Polígonos
Triângulos e quadriláteros
A idéia de fração
Resolvendo problemas que envolvem frações
Comparando números fracionários
Obtendo frações equivalentes
Reduzindo duas ou mais frações ao mesmo denominador
7º. Ano
Igualdade
Equações
Conjunto universo e conjunto solução de uma equação
Equações equivalentes
Equações do 1º grau com uma incógnita
Usando equações na resolução de problemas
Aplicação das equações: as fórmulas matemáticas
8º. Ano
Os produtos notáveis
Fatorando polinômios
introdução Geometria
A reta
Ângulos
Reta transversal
Ângulos correspondentes
Ângulos alternos
Ângulos colaterais
9º. Ano
Resolvendo equações incompletas do 2º grau
Resolvendo uma equação completa do 2º grau com uma incógnita
Resolvendo problemas
Estudando as raízes de uma equação do 2º grau
Relacionando as raízes e os coeficientes da equação ax2 + bx + c = 0
Escrevendo uma equação do 2º grau quando conhecemos as duas raízes
Equações biquadradas
-
segunda-feira, 20 de abril de 2009
terça-feira, 7 de abril de 2009
CONDUÇÃO DO CALOR : NOVA TEORIA
CONDUÇÃO DO CALOR : NOVA TEORIA
Jean Baptiste Joseph Fourier nasceu em Auxerre, em 1768. Órfão aos 8 anos, Fourier foi colocado no Colégio Militar, dirigida pelos beneditinos.
Aos 12 anos, Fourier começou a mostrar parte do seu talento, redigindo sermões para sacerdotes de várias cidades. Dois anos mais tarde iniciou seus estudos de Matemática, conseguindo grande destaque. Considerado menino-prodígio, foi convidado a ingressar na ordem dos beneditinos mas, antes de ordenar-se, chegou a Revolução de 1789.
Fourier que sempre desejara ser militar, aderiu com entusiasmo à causa da Revolução. Com a criação da Escola Normal e da Escola Politécnica, das quais foi conferencista, Fourier começou a desenvolver os trabalhos que o imortalizaram como matemático. Data dessa época sua teoria para calcular raízes irracionais das equações algébricas, cujo estudo Newton iniciara.
Tendo acompanhado Napoleão no Egito, Fourier desenvolveu ali estudos de arqueologia, tornando-se especialista em egiptologia. Fourier trabalhou nessa época como engenheiro, dirigindo uma fábrica de armamentos do exército francês no Egito.
Voltando à França em 1812, Fourier desenvolveu, na sua obra "Memorial", uma teoria sobre a condução do calor, tornando-se precursor da Física-Matemática. Neste último estudo, o matemático francês foi levado a criar um novo tipo de desenvolvimento em série, diferente do método de Taylor por empregar funções periódicas em vez de potências, e que recebeu seu nome.
Em 1830 morreu Fourier; vítima de um aneurisma cerebral.
Jean B. J. Fourier ( 1768 - 1830)
Jean Baptiste Joseph Fourier nasceu em Auxerre, em 1768. Órfão aos 8 anos, Fourier foi colocado no Colégio Militar, dirigida pelos beneditinos.
Aos 12 anos, Fourier começou a mostrar parte do seu talento, redigindo sermões para sacerdotes de várias cidades. Dois anos mais tarde iniciou seus estudos de Matemática, conseguindo grande destaque. Considerado menino-prodígio, foi convidado a ingressar na ordem dos beneditinos mas, antes de ordenar-se, chegou a Revolução de 1789.
Fourier que sempre desejara ser militar, aderiu com entusiasmo à causa da Revolução. Com a criação da Escola Normal e da Escola Politécnica, das quais foi conferencista, Fourier começou a desenvolver os trabalhos que o imortalizaram como matemático. Data dessa época sua teoria para calcular raízes irracionais das equações algébricas, cujo estudo Newton iniciara.
Tendo acompanhado Napoleão no Egito, Fourier desenvolveu ali estudos de arqueologia, tornando-se especialista em egiptologia. Fourier trabalhou nessa época como engenheiro, dirigindo uma fábrica de armamentos do exército francês no Egito.
Voltando à França em 1812, Fourier desenvolveu, na sua obra "Memorial", uma teoria sobre a condução do calor, tornando-se precursor da Física-Matemática. Neste último estudo, o matemático francês foi levado a criar um novo tipo de desenvolvimento em série, diferente do método de Taylor por empregar funções periódicas em vez de potências, e que recebeu seu nome.
Em 1830 morreu Fourier; vítima de um aneurisma cerebral.
Jean B. J. Fourier ( 1768 - 1830)
Cego enxerga longe
Cego enxerga longe
Leonhard Euler nasceu em Basiléia, Suíça, onde seu pai era ministro religioso e possuía alguns conhecimentos matemáticos.
Euler foi aluno de Jean Bernoulli e amigo de seus filhos Nicolaus e Daniel, recebendo ampla instrução em Teologia, Medicina, Astronomia, Física, Línguas orientais e Matemática. Com o auxílio de Bernoulli entrou para a Academia de S. Petersburgo, fundada por Catarina I, ocupando um lugar na seção de Medicina e Fisiologia, e em 1730 passando a seção de Filosofia por ocasião da morte de Nicolaus e afastamento de Daniel. Tornando-se o príncipe matemático já aos vinte e seis anos, dedicou-se profundamente à pesquisa compondo uma quantidade inigualável de artigos, inclusive para a revista da Academia.
Em 1735 perdeu a visão do olho direito mas suas pesquisas continuaram intensas chegando a escrever até mesmo enquanto brincava com seus filhos.
Conquistou reputação internacional e recebeu menção honrosa na Academia das Ciências de Paris bem como vários prêmios em concursos.
Convidado por Frederico, o Grande, Euler passou 25 anos na Academia de Berlim, voltando á Rússia em 1786.
Euler ocupou-se de quase todos os ramos da matemática Pura e Aplicada sendo o maior responsável pela linguagem e notações que usamos hoje; foi o primeiro e empregar a letra e como base do sistema de logaritmos naturais, a letra grega p para razão entre comprimento e diâmetro da circunferência e o símbolo i para . Deve-se a ele também o uso de letras minúsculas designando lados do triângulo e maiúsculas para seus ângulos opostos; simbolizou logaritmo de x por lx, usou å Para indicar adição e f(x) para função de x, além de outras notações em Geometria, Álgebra, Trigonometria e análise.
Euler reuniu Cálculo Diferencial e Método dos Fluxos num só ramo mais geral da Matemática que é a Análise, o estudo dos processos infinitos, surgindo assim sua principal obra, em 1748, a "Introdução à Análise Infinita", baseando-se fundamentalmente em funções, tanto algébricas como transcendentes elementares (trigonométricas, Logarítmicas, trigonométricas inversas e exponenciais).
Foi o primeiro a tratar dos logaritmos como expoentes e com idéia correta sobre logaritmo de números negativos.
Muito interessado no estudo de séries infinitas. obteve notáveis resultados que o levaram a relacionar Análise com Teoria dos Números, e para a Geometria, Euler dedicou um Apêndice de "Introdução'' onde dá a representação da Geometria Analítica no espaço.
Euler escreveu em todos os níveis, em várias línguas, publicando mais de 500 livros e artigos.
Os dezessete últimos anos de sua vida passou em total cegueira mas o fluxo de suas pesquisas e publicações não diminuiu, escrevendo com giz em grandes quadros-negros ou ditando para seus filhos.
Manteve sua mente poderosa até os 76 anos quando morreu.
Euler foi descrito pelos matemáticos da época como sendo a própria "Análise encarnada".
Leonhard Euler nasceu em Basiléia, Suíça, onde seu pai era ministro religioso e possuía alguns conhecimentos matemáticos.
Euler foi aluno de Jean Bernoulli e amigo de seus filhos Nicolaus e Daniel, recebendo ampla instrução em Teologia, Medicina, Astronomia, Física, Línguas orientais e Matemática. Com o auxílio de Bernoulli entrou para a Academia de S. Petersburgo, fundada por Catarina I, ocupando um lugar na seção de Medicina e Fisiologia, e em 1730 passando a seção de Filosofia por ocasião da morte de Nicolaus e afastamento de Daniel. Tornando-se o príncipe matemático já aos vinte e seis anos, dedicou-se profundamente à pesquisa compondo uma quantidade inigualável de artigos, inclusive para a revista da Academia.
Em 1735 perdeu a visão do olho direito mas suas pesquisas continuaram intensas chegando a escrever até mesmo enquanto brincava com seus filhos.
Conquistou reputação internacional e recebeu menção honrosa na Academia das Ciências de Paris bem como vários prêmios em concursos.
Convidado por Frederico, o Grande, Euler passou 25 anos na Academia de Berlim, voltando á Rússia em 1786.
Euler ocupou-se de quase todos os ramos da matemática Pura e Aplicada sendo o maior responsável pela linguagem e notações que usamos hoje; foi o primeiro e empregar a letra e como base do sistema de logaritmos naturais, a letra grega p para razão entre comprimento e diâmetro da circunferência e o símbolo i para . Deve-se a ele também o uso de letras minúsculas designando lados do triângulo e maiúsculas para seus ângulos opostos; simbolizou logaritmo de x por lx, usou å Para indicar adição e f(x) para função de x, além de outras notações em Geometria, Álgebra, Trigonometria e análise.
Euler reuniu Cálculo Diferencial e Método dos Fluxos num só ramo mais geral da Matemática que é a Análise, o estudo dos processos infinitos, surgindo assim sua principal obra, em 1748, a "Introdução à Análise Infinita", baseando-se fundamentalmente em funções, tanto algébricas como transcendentes elementares (trigonométricas, Logarítmicas, trigonométricas inversas e exponenciais).
Foi o primeiro a tratar dos logaritmos como expoentes e com idéia correta sobre logaritmo de números negativos.
Muito interessado no estudo de séries infinitas. obteve notáveis resultados que o levaram a relacionar Análise com Teoria dos Números, e para a Geometria, Euler dedicou um Apêndice de "Introdução'' onde dá a representação da Geometria Analítica no espaço.
Euler escreveu em todos os níveis, em várias línguas, publicando mais de 500 livros e artigos.
Os dezessete últimos anos de sua vida passou em total cegueira mas o fluxo de suas pesquisas e publicações não diminuiu, escrevendo com giz em grandes quadros-negros ou ditando para seus filhos.
Manteve sua mente poderosa até os 76 anos quando morreu.
Euler foi descrito pelos matemáticos da época como sendo a própria "Análise encarnada".
POLINÔMIOS
Operações matemáticas com polinômios
Podemos realizar as operações de soma, subtração e multiplicação com polinômios. Também é possível realizar a divisão, porém não será visto neste tutorial por se tratar de algo mais extenso, possivelmente visto em tutoriais futuros.
Serão exemplificadas todas as operações com polinômios, através de exercícios práticos com as respectivas respostas.
- Operação de soma
a) Dados os polinômios f(x) = 3x – 1, g(x) = 2x² - 5x, determine f(x) + g(x)
Resolução:
f(x) = 3x – 1 +
g(x) = 2x² - 5x
(3x – 1) + (2x² - 5x) = -2x + 2x² -1
b) Dados os polinômios (fx) = 2x² + 2, g(x) = 4x² - 2x e h(x) = 3x² - 5
Determine f(x) + g(x) + h(x)
Resolução:
f(x) = 2x² + 2 +
g(x) = 4x² - 2x +
h(x) = 3x² - 5
(2x² + 2) + (4x² - 2x) + (3x² - 5) = 9x² - 2x – 3
- Operação de subtração
a) Dados os polinômios f(x) = 5x + 7, g(x) = 5x² - 8x, determine f(x) - g(x)
Resolução:
f(x) = 5x + 7 -
g(x) = 5x² - 8x
(5x + 7) - (5x² - 8x) = 13x - 5x² +7
b) Dados os polinômios (fx) = 7x² + 2x + 4x, g(x) = 2x² - 5x e h(x) = 3x – 6
Determine f(x) – g(x) – h(x)
Resolução:
f(x) = 7x² + 2x + 4x -
g(x) = 2x² - 5x -
h(x) = 3x - 6
(7x² + 2x + 4x) – (2x² - 5x) – (3x – 6) = 5x² + 7x + x + 6
- Operação de Multiplicação
a) Dados os polinômios f(x) = 4x + 2, g(x) = 3x² - 2x, determine f(x) . g(x)
Resolução:
f(x) = 4x + 2 .
g(x) = 3x² - 2x
(4x + 2) . (3x² - 2x) = 12x - 8x² + 6x² - 4x =
12x - 2x² - 4x
b) Dados os polinômios (fx) = 3x² + 2x + 3, g(x) = 2x - 5x
Determine f(x) . g(x)
Resolução:
f(x) = 3x² + 2x + 3 .
g(x) = 2x - 5x
(3x + 2x + 3) . (2x - 5x) =
6x² - 15x² + 4x² - 10x² + 6x – 15x =
-15x² - 9x
Podemos realizar as operações de soma, subtração e multiplicação com polinômios. Também é possível realizar a divisão, porém não será visto neste tutorial por se tratar de algo mais extenso, possivelmente visto em tutoriais futuros.
Serão exemplificadas todas as operações com polinômios, através de exercícios práticos com as respectivas respostas.
- Operação de soma
a) Dados os polinômios f(x) = 3x – 1, g(x) = 2x² - 5x, determine f(x) + g(x)
Resolução:
f(x) = 3x – 1 +
g(x) = 2x² - 5x
(3x – 1) + (2x² - 5x) = -2x + 2x² -1
b) Dados os polinômios (fx) = 2x² + 2, g(x) = 4x² - 2x e h(x) = 3x² - 5
Determine f(x) + g(x) + h(x)
Resolução:
f(x) = 2x² + 2 +
g(x) = 4x² - 2x +
h(x) = 3x² - 5
(2x² + 2) + (4x² - 2x) + (3x² - 5) = 9x² - 2x – 3
- Operação de subtração
a) Dados os polinômios f(x) = 5x + 7, g(x) = 5x² - 8x, determine f(x) - g(x)
Resolução:
f(x) = 5x + 7 -
g(x) = 5x² - 8x
(5x + 7) - (5x² - 8x) = 13x - 5x² +7
b) Dados os polinômios (fx) = 7x² + 2x + 4x, g(x) = 2x² - 5x e h(x) = 3x – 6
Determine f(x) – g(x) – h(x)
Resolução:
f(x) = 7x² + 2x + 4x -
g(x) = 2x² - 5x -
h(x) = 3x - 6
(7x² + 2x + 4x) – (2x² - 5x) – (3x – 6) = 5x² + 7x + x + 6
- Operação de Multiplicação
a) Dados os polinômios f(x) = 4x + 2, g(x) = 3x² - 2x, determine f(x) . g(x)
Resolução:
f(x) = 4x + 2 .
g(x) = 3x² - 2x
(4x + 2) . (3x² - 2x) = 12x - 8x² + 6x² - 4x =
12x - 2x² - 4x
b) Dados os polinômios (fx) = 3x² + 2x + 3, g(x) = 2x - 5x
Determine f(x) . g(x)
Resolução:
f(x) = 3x² + 2x + 3 .
g(x) = 2x - 5x
(3x + 2x + 3) . (2x - 5x) =
6x² - 15x² + 4x² - 10x² + 6x – 15x =
-15x² - 9x
CRITÉRIOS DE DIVISIBILIDADE
Divisibilidade por 2
Um número é divisível por 2 se ele é par, ou seja, termina em 0, 2, 4, 6 ou 8.
Exemplos: O número 5634 é divisível por 2, pois o seu último algarismo é 4, mas 135 não é divisível por 2, pois é um número terminado com o algarismo 5 que não é par.
Divisibilidade por 3
Um número é divisível por 3 se a soma de seus algarismos é divisível por 3.
Exemplos: 18 é divisível por 3 pois 1+8=9 que é divisível por 3, 576 é divisível por 3 pois: 5+7+6=18 que é divisível por 3, mas 134 não é divisível por 3, pois 1+3+4=8 que não é divisível por 3.
Divisibilidade por 4
Um número é divisível por 4 se o número formado pelos seus dois últimos algarismos é divisível por 4.
Exemplos: 4312 é divisível por 4, pois 12 é divisível por 4, mas 1635 não é divisível por 4 pois 35 não é divisível por 4.
Divisibilidade por 5
Um número é divisível por 5 se o seu último algarismo é 0 (zero) ou 5.
Exemplos: 75 é divisível por 5 pois termina com o algarismo 5, mas 107 não é divisível por 5 pois o seu último algarismo não é 0 (zero) nem 5.
Divisibilidade por 6
Um número é divisível por 6 se é par e a soma de seus algarismos é divisível por 3.
Exemplos: 756 é divisível por 6, pois 756 é par e a soma de seus algarismos: 7+5+6=18 é divisível por 3, 527 não é divisível por 6, pois não é par e 872 é par mas não é divisível por 6 pois a soma de seus algarismos: 8+7+2=17 não é divisível por 3.
Divisibilidade por 7
Um número é divisível por 7 se o dobro do último algarismo, subtraído do número sem o último algarismo, resultar um número divisível por 7. Se o número obtido ainda for grande, repete-se o processo até que se possa verificar a divisão por 7.
Exemplo: 165928 é divisível por 7 pois:
16592 Número sem o último algarismo
-16 Dobro de 8 (último algarismo)
16576 Diferença
Repete-se o processo com este último número.
1657 Número sem o último algarismo
-12 Dobro de 6 (último algarismo)
1645 Diferença
Repete-se o processo com este último número.
164 Número sem o último algarismo
-10 Dobro de 5 (último algarismo)
154 Diferença
Repete-se o processo com este último número.
15 Número sem o último algarismo
-8 Dobro de 4 (último algarismo)
7 Diferença
A diferença é divisível por 7, logo o número dado inicialmente também é divisível por 7.
Exemplo: 4261 não é divisível por 7, pois:
426 Número sem o último algarismo
-2 Dobro do último algarismo
424 Diferença
Repete-se o processo com este último número.
42 Número sem o último algarismo
-8 Dobro do último algarismo
34 Diferença
A última diferença é 34 que não é divisível por 7, logo o número 4261 dado inicialmente não é divisível por 7.
Divisibilidade por 8
Um número é divisível por 8 se o número formado pelos seus três últimos algarismos é divisível por 8.
Exemplos: 45128 é divisível por 8 pois 128 dividido por 8 fornece 16, mas 45321 não é divisível por 8 pois 321 não é divisível por 8.
Divisibilidade por 9
Um número é divisível por 9 se a soma dos seus algarismos é um número divisível por 9.
Exemplos: 1935 é divisível por 9 pois: 1+9+3+5=18 que é divisível por 9, mas 5381 não é divisível por 9 pois: 5+3+8+1=17 que não é divisível por 9.
Divisibilidade por 10
Um número é divisível por 10 se termina com o algarismo 0 (zero).
Exemplos: 5420 é divisível por 10 pois termina em 0 (zero), mas 6342 não termina em 0 (zero).
Divisibilidade por 11
Um número é divisível por 11 se a soma dos algarismos de ordem par Sp menos a soma dos algarismos de ordem ímpar Si é um número divisível por 11. Como um caso particular, se Sp-Si=0 ou se Si-Sp=0, então o número é divisível por 11.
Exemplo: 1353 é divisível por 11, pois:
Número 1 3 5 3
Ordem ímpar par ímpar par
O primeiro e o terceiro algarismos têm ordem impar e a sua soma é: Si=1+5=6, o segundo e o quarto algarismos têm ordem par e a sua soma é: Sp=3+3=6, assim a soma dos algarismos de ordem par Sp é igual à soma dos algarismos de ordem ímpar Si, logo o número é divisível por 11.
Exemplo: 29458 é divisível por 11, pois:
Número 2 9 4 5 8
Ordem ímpar par ímpar par ímpar
A soma dos algarismos de ordem ímpar, Si=2+4+8=14, a soma dos algarismos de ordem par, Sp=9+5=14 e como ambas as somas são iguais, o número 29458 é divisível por 11.
Exemplo: 2543 não é divisível por 11, pois:
Número 2 5 4 3
Ordem ímpar par ímpar par
A soma dos algarismos de ordem impar é Si=2+4=6, a soma dos algarismos e ordem par é Sp=5+3=8 e como a diferença Si-Sp não é divisível por 11, o número original também não é divisível por 11.
Exemplo: 65208 é divisível por 11, pois:
Número 6 5 2 0 8
Ordem ímpar par ímpar par ímpar
A soma dos algarismos de ordem impar é Si=6+2+8=16, a soma dos algarismos de ordem par é Sp=5+0=5. Como a diferença Si-Sp=11, o número 65208 é divisível por 11
Divisibilidade por 13
Um número é divisível por 13 se o quádruplo (4 vezes) do último algarismo, somado ao número sem o último algarismo, resultar um número divisível por 13. Se o número obtido ainda for grande, repete-se o processo até que se possa verificar a divisão por 13. Este critério é semelhante àquele dado antes para a divisibilidade por 7, apenas que no presente caso utilizamos a soma ao invés de subtração.
Exemplo: 16562 é divisível por 13? Vamos verificar.
1656 Número sem o último algarismo
+8 Quatro vezes o último algarismo
1664 Soma
Repete-se o processo com este último número.
166 Número sem o último algarismo
+16 Quatro vezes o último algarismo
182 Soma
Repete-se o processo com este último número.
18 Número sem o último algarismo
+8 Quatro vezes o último algarismo
26 Soma
Como a última soma é divisível por 13, então o número dado inicialmente também é divisível por 13.
Divisibilidade por 16
Um número é divisível por 16 se o número formado pelos seus quatro últimos algarismos é divisível por 16.
Exemplos: 54096 é divisível por 16 pois 4096 dividido por 16 fornece 256, mas 45321 não é divisível por 16 pois 5321 não é divisível por 16.
Divisibilidade por 17
Um número é divisível por 17 quando o quíntuplo (5 vezes) do último algarismo, subtraído do número que não contém este último algarismo, proporcionar um número divisível por 17. Se o número obtido ainda for grande, repete-se o processo até que se possa verificar a divisão por 17.
Exemplo: 18598 é divisível por 17 pois:
1859 Número sem o último algarismo
-40 Cinco vezes o último algarismo
1819 Diferença
Repete-se o processo com este último número.
181 Número sem o último algarismo
-45 Cinco vezes o último algarismo
136 Diferença
Repete-se o processo com este último número.
13 Número sem o último algarismo
-30 Cinco vezes o último algarismo
-17 Diferença
A diferença, embora negativa, é divisível por 17, logo o número dado inicialmente também é divisível por 17.
Divisibilidade por 19
Um número é divisível por 19 quando o dobro do último algarismo, somado ao número que não contém este último algarismo, proporcionar um número divisível por 19. Se o número obtido ainda for grande, repete-se o processo até que se possa verificar a divisão por 19.
Exemplo: 165928 é divisível por 19? Vamos verificar.
16592 Número sem o último algarismo
+16 Dobro do último algarismo
16608 Soma
Repete-se o processo com este último número.
1660 Número sem o último algarismo
+16 Dobro do último algarismo
1676 Soma
Repete-se o processo com este último número.
167 Número sem o último algarismo
+12 Dobro do último algarismo
179 Soma
Repete-se o processo com este último número.
17 Número sem o último algarismo
+18 Dobro do último algarismo
35 Soma
Como a última soma não é divisível por 19, então o número dado inicialmente também não é divisível por 19.
Exemplo: 4275 é divisível por 19, pois:
427 Número sem o último algarismo
+10 Dobro do último algarismo
437 Soma
Repete-se o processo com este último número.
43 Número sem o último algarismo
+14 Dobro do último algarismo
57 Soma
Repete-se o processo com este último número.
5 Número sem o último algarismo
+14 Dobro do último algarismo
19 Soma
Como a última Soma é o próprio 19, segue que é divisível por 19, então o número 4275 dado inicialmente é divisível por 19.
Divisibilidade por 23
Um número é divisível por 23 quando o héptuplo (7 vezes) do último algarismo, somado ao número que não contém este último algarismo, proporcionar um número divisível por 23. Se o número obtido ainda for grande, repete-se o processo até que se possa verificar a divisão por 23.
Exemplo: 185909 é divisível por 23? Vamos verificar.
18590 Número sem o último algarismo
+63 Dobro do último algarismo
18653 Soma
Repete-se o processo com este último número.
1865 Número sem o último algarismo
+21 Dobro do último algarismo
1886 Soma
Repete-se o processo com este último número.
188 Número sem o último algarismo
+42 Dobro do último algarismo
230 Soma
Como a última soma é divisível por 23, então o número dado inicialmente também é divisível por 23.
Divisibilidade por 29
Um número é divisível por 29 quando o triplo (3 vezes) do último algarismo, subtraído do número que não contém este último algarismo, proporcionar um número divisível por 29. Se o número obtido ainda for grande, repete-se o processo até que se possa verificar a divisão por 29.
Exemplo: O número 8598 é divisível por 29?
859 Número sem o último algarismo
-24 Dobro do último algarismo
835 Diferença
Repete-se o processo com este último número.
83 Número sem o último algarismo
-15 Dobro do último algarismo
68 Diferença
Repete-se o processo com este último número.
6 Número sem o último algarismo
-24 Dobro do último algarismo
-18 Diferença
A diferença, embora negativa, não é divisível por 29, logo o número dado inicialmente também não é divisível por 29.
Divisibilidade por 31
Um número é divisível por 31 quando o triplo (3 vezes) do último algarismo, somado ao número que não contém este último algarismo, proporcionar um número divisível por 31. Se o número obtido ainda for grande, repete-se o processo até que se possa verificar a divisão por 31.
Exemplo: 8598 é divisível por 31?
859 Número sem o último algarismo
+24 Triplo do último algarismo
883 Soma
Repete-se o processo com este último número.
88 Número sem o último algarismo
+9 Triplo do último algarismo
97 Soma
Repete-se o processo com este último número.
9 Número sem o último algarismo
+21 Triplo do último algarismo
30 Soma
A soma não é divisível por 31, logo o número dado inicialmente também não é divisível por 31.
Divisibilidade por 49
Um número é divisível por 49 quando o quíntuplo (5 vezes) do último algarismo, somado ao número que não contém este último algarismo, proporcionar um número divisível por 49. Se o número obtido ainda for grande, repete-se o processo até que se possa verificar a divisão por 49.
Exemplo: 8598 é divisível por 49?
859 Número sem o último algarismo
+40 Cinco vezes o último algarismo
899 Soma
Repete-se o processo com este último número.
89 Número sem o último algarismo
+45 Cinco vezes o último algarismo
134 Soma
Repete-se o processo com este último número.
13 Número sem o último algarismo
+20 Cinco vezes o último algarismo
33 Soma
A soma não é divisível por 49, logo o número dado inicialmente também não é divisível por 49.
Um número é divisível por 2 se ele é par, ou seja, termina em 0, 2, 4, 6 ou 8.
Exemplos: O número 5634 é divisível por 2, pois o seu último algarismo é 4, mas 135 não é divisível por 2, pois é um número terminado com o algarismo 5 que não é par.
Divisibilidade por 3
Um número é divisível por 3 se a soma de seus algarismos é divisível por 3.
Exemplos: 18 é divisível por 3 pois 1+8=9 que é divisível por 3, 576 é divisível por 3 pois: 5+7+6=18 que é divisível por 3, mas 134 não é divisível por 3, pois 1+3+4=8 que não é divisível por 3.
Divisibilidade por 4
Um número é divisível por 4 se o número formado pelos seus dois últimos algarismos é divisível por 4.
Exemplos: 4312 é divisível por 4, pois 12 é divisível por 4, mas 1635 não é divisível por 4 pois 35 não é divisível por 4.
Divisibilidade por 5
Um número é divisível por 5 se o seu último algarismo é 0 (zero) ou 5.
Exemplos: 75 é divisível por 5 pois termina com o algarismo 5, mas 107 não é divisível por 5 pois o seu último algarismo não é 0 (zero) nem 5.
Divisibilidade por 6
Um número é divisível por 6 se é par e a soma de seus algarismos é divisível por 3.
Exemplos: 756 é divisível por 6, pois 756 é par e a soma de seus algarismos: 7+5+6=18 é divisível por 3, 527 não é divisível por 6, pois não é par e 872 é par mas não é divisível por 6 pois a soma de seus algarismos: 8+7+2=17 não é divisível por 3.
Divisibilidade por 7
Um número é divisível por 7 se o dobro do último algarismo, subtraído do número sem o último algarismo, resultar um número divisível por 7. Se o número obtido ainda for grande, repete-se o processo até que se possa verificar a divisão por 7.
Exemplo: 165928 é divisível por 7 pois:
16592 Número sem o último algarismo
-16 Dobro de 8 (último algarismo)
16576 Diferença
Repete-se o processo com este último número.
1657 Número sem o último algarismo
-12 Dobro de 6 (último algarismo)
1645 Diferença
Repete-se o processo com este último número.
164 Número sem o último algarismo
-10 Dobro de 5 (último algarismo)
154 Diferença
Repete-se o processo com este último número.
15 Número sem o último algarismo
-8 Dobro de 4 (último algarismo)
7 Diferença
A diferença é divisível por 7, logo o número dado inicialmente também é divisível por 7.
Exemplo: 4261 não é divisível por 7, pois:
426 Número sem o último algarismo
-2 Dobro do último algarismo
424 Diferença
Repete-se o processo com este último número.
42 Número sem o último algarismo
-8 Dobro do último algarismo
34 Diferença
A última diferença é 34 que não é divisível por 7, logo o número 4261 dado inicialmente não é divisível por 7.
Divisibilidade por 8
Um número é divisível por 8 se o número formado pelos seus três últimos algarismos é divisível por 8.
Exemplos: 45128 é divisível por 8 pois 128 dividido por 8 fornece 16, mas 45321 não é divisível por 8 pois 321 não é divisível por 8.
Divisibilidade por 9
Um número é divisível por 9 se a soma dos seus algarismos é um número divisível por 9.
Exemplos: 1935 é divisível por 9 pois: 1+9+3+5=18 que é divisível por 9, mas 5381 não é divisível por 9 pois: 5+3+8+1=17 que não é divisível por 9.
Divisibilidade por 10
Um número é divisível por 10 se termina com o algarismo 0 (zero).
Exemplos: 5420 é divisível por 10 pois termina em 0 (zero), mas 6342 não termina em 0 (zero).
Divisibilidade por 11
Um número é divisível por 11 se a soma dos algarismos de ordem par Sp menos a soma dos algarismos de ordem ímpar Si é um número divisível por 11. Como um caso particular, se Sp-Si=0 ou se Si-Sp=0, então o número é divisível por 11.
Exemplo: 1353 é divisível por 11, pois:
Número 1 3 5 3
Ordem ímpar par ímpar par
O primeiro e o terceiro algarismos têm ordem impar e a sua soma é: Si=1+5=6, o segundo e o quarto algarismos têm ordem par e a sua soma é: Sp=3+3=6, assim a soma dos algarismos de ordem par Sp é igual à soma dos algarismos de ordem ímpar Si, logo o número é divisível por 11.
Exemplo: 29458 é divisível por 11, pois:
Número 2 9 4 5 8
Ordem ímpar par ímpar par ímpar
A soma dos algarismos de ordem ímpar, Si=2+4+8=14, a soma dos algarismos de ordem par, Sp=9+5=14 e como ambas as somas são iguais, o número 29458 é divisível por 11.
Exemplo: 2543 não é divisível por 11, pois:
Número 2 5 4 3
Ordem ímpar par ímpar par
A soma dos algarismos de ordem impar é Si=2+4=6, a soma dos algarismos e ordem par é Sp=5+3=8 e como a diferença Si-Sp não é divisível por 11, o número original também não é divisível por 11.
Exemplo: 65208 é divisível por 11, pois:
Número 6 5 2 0 8
Ordem ímpar par ímpar par ímpar
A soma dos algarismos de ordem impar é Si=6+2+8=16, a soma dos algarismos de ordem par é Sp=5+0=5. Como a diferença Si-Sp=11, o número 65208 é divisível por 11
Divisibilidade por 13
Um número é divisível por 13 se o quádruplo (4 vezes) do último algarismo, somado ao número sem o último algarismo, resultar um número divisível por 13. Se o número obtido ainda for grande, repete-se o processo até que se possa verificar a divisão por 13. Este critério é semelhante àquele dado antes para a divisibilidade por 7, apenas que no presente caso utilizamos a soma ao invés de subtração.
Exemplo: 16562 é divisível por 13? Vamos verificar.
1656 Número sem o último algarismo
+8 Quatro vezes o último algarismo
1664 Soma
Repete-se o processo com este último número.
166 Número sem o último algarismo
+16 Quatro vezes o último algarismo
182 Soma
Repete-se o processo com este último número.
18 Número sem o último algarismo
+8 Quatro vezes o último algarismo
26 Soma
Como a última soma é divisível por 13, então o número dado inicialmente também é divisível por 13.
Divisibilidade por 16
Um número é divisível por 16 se o número formado pelos seus quatro últimos algarismos é divisível por 16.
Exemplos: 54096 é divisível por 16 pois 4096 dividido por 16 fornece 256, mas 45321 não é divisível por 16 pois 5321 não é divisível por 16.
Divisibilidade por 17
Um número é divisível por 17 quando o quíntuplo (5 vezes) do último algarismo, subtraído do número que não contém este último algarismo, proporcionar um número divisível por 17. Se o número obtido ainda for grande, repete-se o processo até que se possa verificar a divisão por 17.
Exemplo: 18598 é divisível por 17 pois:
1859 Número sem o último algarismo
-40 Cinco vezes o último algarismo
1819 Diferença
Repete-se o processo com este último número.
181 Número sem o último algarismo
-45 Cinco vezes o último algarismo
136 Diferença
Repete-se o processo com este último número.
13 Número sem o último algarismo
-30 Cinco vezes o último algarismo
-17 Diferença
A diferença, embora negativa, é divisível por 17, logo o número dado inicialmente também é divisível por 17.
Divisibilidade por 19
Um número é divisível por 19 quando o dobro do último algarismo, somado ao número que não contém este último algarismo, proporcionar um número divisível por 19. Se o número obtido ainda for grande, repete-se o processo até que se possa verificar a divisão por 19.
Exemplo: 165928 é divisível por 19? Vamos verificar.
16592 Número sem o último algarismo
+16 Dobro do último algarismo
16608 Soma
Repete-se o processo com este último número.
1660 Número sem o último algarismo
+16 Dobro do último algarismo
1676 Soma
Repete-se o processo com este último número.
167 Número sem o último algarismo
+12 Dobro do último algarismo
179 Soma
Repete-se o processo com este último número.
17 Número sem o último algarismo
+18 Dobro do último algarismo
35 Soma
Como a última soma não é divisível por 19, então o número dado inicialmente também não é divisível por 19.
Exemplo: 4275 é divisível por 19, pois:
427 Número sem o último algarismo
+10 Dobro do último algarismo
437 Soma
Repete-se o processo com este último número.
43 Número sem o último algarismo
+14 Dobro do último algarismo
57 Soma
Repete-se o processo com este último número.
5 Número sem o último algarismo
+14 Dobro do último algarismo
19 Soma
Como a última Soma é o próprio 19, segue que é divisível por 19, então o número 4275 dado inicialmente é divisível por 19.
Divisibilidade por 23
Um número é divisível por 23 quando o héptuplo (7 vezes) do último algarismo, somado ao número que não contém este último algarismo, proporcionar um número divisível por 23. Se o número obtido ainda for grande, repete-se o processo até que se possa verificar a divisão por 23.
Exemplo: 185909 é divisível por 23? Vamos verificar.
18590 Número sem o último algarismo
+63 Dobro do último algarismo
18653 Soma
Repete-se o processo com este último número.
1865 Número sem o último algarismo
+21 Dobro do último algarismo
1886 Soma
Repete-se o processo com este último número.
188 Número sem o último algarismo
+42 Dobro do último algarismo
230 Soma
Como a última soma é divisível por 23, então o número dado inicialmente também é divisível por 23.
Divisibilidade por 29
Um número é divisível por 29 quando o triplo (3 vezes) do último algarismo, subtraído do número que não contém este último algarismo, proporcionar um número divisível por 29. Se o número obtido ainda for grande, repete-se o processo até que se possa verificar a divisão por 29.
Exemplo: O número 8598 é divisível por 29?
859 Número sem o último algarismo
-24 Dobro do último algarismo
835 Diferença
Repete-se o processo com este último número.
83 Número sem o último algarismo
-15 Dobro do último algarismo
68 Diferença
Repete-se o processo com este último número.
6 Número sem o último algarismo
-24 Dobro do último algarismo
-18 Diferença
A diferença, embora negativa, não é divisível por 29, logo o número dado inicialmente também não é divisível por 29.
Divisibilidade por 31
Um número é divisível por 31 quando o triplo (3 vezes) do último algarismo, somado ao número que não contém este último algarismo, proporcionar um número divisível por 31. Se o número obtido ainda for grande, repete-se o processo até que se possa verificar a divisão por 31.
Exemplo: 8598 é divisível por 31?
859 Número sem o último algarismo
+24 Triplo do último algarismo
883 Soma
Repete-se o processo com este último número.
88 Número sem o último algarismo
+9 Triplo do último algarismo
97 Soma
Repete-se o processo com este último número.
9 Número sem o último algarismo
+21 Triplo do último algarismo
30 Soma
A soma não é divisível por 31, logo o número dado inicialmente também não é divisível por 31.
Divisibilidade por 49
Um número é divisível por 49 quando o quíntuplo (5 vezes) do último algarismo, somado ao número que não contém este último algarismo, proporcionar um número divisível por 49. Se o número obtido ainda for grande, repete-se o processo até que se possa verificar a divisão por 49.
Exemplo: 8598 é divisível por 49?
859 Número sem o último algarismo
+40 Cinco vezes o último algarismo
899 Soma
Repete-se o processo com este último número.
89 Número sem o último algarismo
+45 Cinco vezes o último algarismo
134 Soma
Repete-se o processo com este último número.
13 Número sem o último algarismo
+20 Cinco vezes o último algarismo
33 Soma
A soma não é divisível por 49, logo o número dado inicialmente também não é divisível por 49.
segunda-feira, 6 de abril de 2009
Dica para prova
Se você multiplicar o polinômio (3abc+6abc-7abc) por 3ab^3 c e adicionar com 20a^2 b^4 c^2 temos;
segunda-feira, 26 de janeiro de 2009
Lista Olímpica 2009
QUESTÃO 01
Determine o valor da expressão:
√(1+2009∙2007)
________________________________________
QUESTÃO 02
Simplificando a fração:
(2009+2009+2009)/(2009+2009+2009+2009)
________________________________________
QUESTÃO 03
Se x+y=10 e x∙y=6, qual é o valor
da expressão x^2+11xy+y^2?
________________________________________
QUESTÃO 04
Calcule a soma dos algarismos do
número √(2009∙2008∙2007∙2006+1)
________________________________________
QUESTÃO 05
Determine o valor de
√(2009∙2005∙1993∙1989+2^10 )
________________________________________
QUESTÃO 06
Calcule o resto da divisão 4^2009+3^1006
por 13.
________________________________________
QUESTÃO 07
Calcule o resto da divisão 〖23〗^84292 por 7
________________________________________
QUESTÃO 08
Calcule o resto da divisão 〖113〗^34291
por 5
________________________________________
Determine o valor da expressão:
√(1+2009∙2007)
________________________________________
QUESTÃO 02
Simplificando a fração:
(2009+2009+2009)/(2009+2009+2009+2009)
________________________________________
QUESTÃO 03
Se x+y=10 e x∙y=6, qual é o valor
da expressão x^2+11xy+y^2?
________________________________________
QUESTÃO 04
Calcule a soma dos algarismos do
número √(2009∙2008∙2007∙2006+1)
________________________________________
QUESTÃO 05
Determine o valor de
√(2009∙2005∙1993∙1989+2^10 )
________________________________________
QUESTÃO 06
Calcule o resto da divisão 4^2009+3^1006
por 13.
________________________________________
QUESTÃO 07
Calcule o resto da divisão 〖23〗^84292 por 7
________________________________________
QUESTÃO 08
Calcule o resto da divisão 〖113〗^34291
por 5
________________________________________
segunda-feira, 20 de outubro de 2008
terça-feira, 29 de abril de 2008
BRINCADEIRA
Nova matemática simplificada
Matemática no Romance
Homem esperto + mulher esperta = romance.
Homem esperto + mulher estúpida = caso
Homem estúpido + mulher esperta = casamento
Homem estúpido + mulher estúpida = gravidez
Aritmética no trabalho
Patrão esperto + empregado esperto = lucro
Patrão esperto + empregado estúpido = produção
Patrão estúpido + empregado esperto = promoção
Patrão estúpido + empregado estúpido = horas extra
A matemática das compras
Um homem paga 2 contos por algo que necessita e que custa 1.
Uma mulher paga 1 conto por algo que não necessita e que custa 2.
Equações e Estatísticas Gerais
Uma mulher preocupa-se com o futuro até que arranja marido.
Um homem nunca se preocupa com o futuro até que arranja mulher.
Um homem de sucesso é aquele que consegue ganhar mais dinheiro do que o que a sua mulher gasta.
A mulher de sucesso é aquela que consegue encontrar um marido assim.
Matemática no Romance
Homem esperto + mulher esperta = romance.
Homem esperto + mulher estúpida = caso
Homem estúpido + mulher esperta = casamento
Homem estúpido + mulher estúpida = gravidez
Aritmética no trabalho
Patrão esperto + empregado esperto = lucro
Patrão esperto + empregado estúpido = produção
Patrão estúpido + empregado esperto = promoção
Patrão estúpido + empregado estúpido = horas extra
A matemática das compras
Um homem paga 2 contos por algo que necessita e que custa 1.
Uma mulher paga 1 conto por algo que não necessita e que custa 2.
Equações e Estatísticas Gerais
Uma mulher preocupa-se com o futuro até que arranja marido.
Um homem nunca se preocupa com o futuro até que arranja mulher.
Um homem de sucesso é aquele que consegue ganhar mais dinheiro do que o que a sua mulher gasta.
A mulher de sucesso é aquela que consegue encontrar um marido assim.
MEDIDAS
MEDIDAS
UM POUCO DE HISTÓRIA
Os sistemas de Pesos e Medidas são o resultado de uma evolução gradual sujeita a muitas influências.
É difícil, portanto, estabelecer um percurso lógico e claro para o seu aparecimento
Contar, foi talvez a forma mais primitiva de medir. As comunidades pré-históricas utilizavam as unidades dos seus produtos principais para se exprimirem nas trocas. Por exemplo: um agricultor avaliava (media) uma ovelha em "mãos cheias de trigo" ou outro grão das suas produções.
O sistema de medida por unidades de troca durou milénios.
O desenvolvimento e aplicação de medidas lineares - antes do aparecimento das de peso e capacidade - apareceram entre 10.000 e 8.000 anos AC. As unidades de medida nesses tempos baseavam-se na comparação com objetos naturais. Depois começaram a utilizar-se algumas dimensões do corpo humano como padrão de medidas lineares. Por exemplo: os egípcios chamavam à distância entre o cotovelo e a extremidade do dedo médio: Braça.
Entretanto, alguns povos, perceberam-se de que havia alguma uniformidade entre os pesos de algumas sementes e grãos e assim tomaram-os para bitolas de peso. Por exemplo: o Carat - ainda hoje usado pelos joalheiros modernos - resultou do peso da semente de alfarroba; ou o Grão - ainda usado como unidade de peso - tem origem no peso das sementes do trigo ou da cevada.
A diversidade de todos estes métodos de medida levaram a que as sociedades primitivas, ao tornarem-se mais sofisticadas, tivessem a necessidade de normalizar os seus Sistemas de Pesos e Medidas.
NO EGIPTO
Provavelmente a mais antiga medida linear usada pelos egípcios, babilônios e hebreus, foi a braça. De origem incerta: ou talvez como a tal distância entre o cotovelo e a extremidade do dedo médio.
Os egípcios tinham dois tipos de Braça:
A Braça Curta com 17,7 polegadas = 0,45 mts.
A Braça Real com 20,6 polegadas = 0,524 mts
A Braça Real era dividida em 7 Palmos e cada Palmo em 4 Dedos (com a largura do dedo médio)
É curioso que a Braça, ainda hoje é usada na marinharia como medida de comprimento para designar profundidades, ou cabos e linhas dos aprestos marítimos.
NA GRÉCIA E ROMA
Os gregos adaptaram alguns padrões dos sistemas desenvolvidos pelos egípcios e babilônios mas introduziram uma nova unidade:
O Pé (Foot), dividido em 12 unidades designadas por Polegadas (Inches).
Os romanos adaptaram o Pé (Foot) dividido em 12 Polegadas (Inches) para medida de comprimento.
Para o sistema de pesos criaram a Onça (Oz) como a menor unidade. Depois:
- Num sistema: 16 Oz = 1 Poud (Libra)
- Noutro sistema: 1 Poud (Libra) = 12 Oz
NA IDADE MÉDIA
No obscurantismo da Idade Média quase todos os sistemas de medidas desapareceram ou não eram usados. Cada Cidade, Território ou Província usava as suas medidas com os conseqüentes erros, fraudes e enganos nos mercados.
No Século XIV os mercadores ingleses estabeleceram o seu sistema de pesos baseado na Libra (Lb) = 7.000 Grãos (Gr) = 16 Onças (Oz) que ainda hoje é empregue em muitos países de expressão inglesa.
No Século XV um outro sistema foi estabelecido: a Onça Troy (Oz troy) = 480 Grãos (Gr) = 12 Onças da Libra.
O SISTEMA MÉTRICO
A criação do Sistema Métrico Decimal foi um importante contributo da Revolução Francesa.
Baseia-se em múltiplos de 10.
A sua unidade básica é o Metro; inicialmente definido como a décima milionésima parte do comprimento do meridiano terrestre entre os paralelos de Dunkerque e Barcelona (cerca de 1/4).
Entre 1960 e 1983 foi redefinido como o comprimento de onda do isótopos 86 do Krypton; e em 1983 voltou a ser redefinido como o comprimento do percurso efetuado pela luz, no vácuo, em 1/299.792.458 segundos: medida que é reproduzível em laboratório.
Hoje, o sistema métrico decimal é universalmente aceite, incluindo o Reino Unido depois da adesão à União Européia.
Os Estados Unidos (USA) por inércia ou pela importância da sua economia ainda não sentiram a necessidade de adaptar este sistema.
Em 1960, a 10ª Conferência Internacional de Pesos e Medidas adotou o International System of Units (SI).
Este sistema é baseado em sete unidades de medida:
- O Metro para unidade de comprimento (m);
- O Kilograma para unidade de massa (kg);
- O Segundo para unidade de tempo (s);
- O Kelvin para unidade de temperatura termodinâmica (K);
- A Candela para unidade de intensidade luminosa ((cd);
- O Ampère como unidade elétrica (A);
- O Mole para a quantidade de substância (mol).
UM POUCO DE HISTÓRIA
Os sistemas de Pesos e Medidas são o resultado de uma evolução gradual sujeita a muitas influências.
É difícil, portanto, estabelecer um percurso lógico e claro para o seu aparecimento
Contar, foi talvez a forma mais primitiva de medir. As comunidades pré-históricas utilizavam as unidades dos seus produtos principais para se exprimirem nas trocas. Por exemplo: um agricultor avaliava (media) uma ovelha em "mãos cheias de trigo" ou outro grão das suas produções.
O sistema de medida por unidades de troca durou milénios.
O desenvolvimento e aplicação de medidas lineares - antes do aparecimento das de peso e capacidade - apareceram entre 10.000 e 8.000 anos AC. As unidades de medida nesses tempos baseavam-se na comparação com objetos naturais. Depois começaram a utilizar-se algumas dimensões do corpo humano como padrão de medidas lineares. Por exemplo: os egípcios chamavam à distância entre o cotovelo e a extremidade do dedo médio: Braça.
Entretanto, alguns povos, perceberam-se de que havia alguma uniformidade entre os pesos de algumas sementes e grãos e assim tomaram-os para bitolas de peso. Por exemplo: o Carat - ainda hoje usado pelos joalheiros modernos - resultou do peso da semente de alfarroba; ou o Grão - ainda usado como unidade de peso - tem origem no peso das sementes do trigo ou da cevada.
A diversidade de todos estes métodos de medida levaram a que as sociedades primitivas, ao tornarem-se mais sofisticadas, tivessem a necessidade de normalizar os seus Sistemas de Pesos e Medidas.
NO EGIPTO
Provavelmente a mais antiga medida linear usada pelos egípcios, babilônios e hebreus, foi a braça. De origem incerta: ou talvez como a tal distância entre o cotovelo e a extremidade do dedo médio.
Os egípcios tinham dois tipos de Braça:
A Braça Curta com 17,7 polegadas = 0,45 mts.
A Braça Real com 20,6 polegadas = 0,524 mts
A Braça Real era dividida em 7 Palmos e cada Palmo em 4 Dedos (com a largura do dedo médio)
É curioso que a Braça, ainda hoje é usada na marinharia como medida de comprimento para designar profundidades, ou cabos e linhas dos aprestos marítimos.
NA GRÉCIA E ROMA
Os gregos adaptaram alguns padrões dos sistemas desenvolvidos pelos egípcios e babilônios mas introduziram uma nova unidade:
O Pé (Foot), dividido em 12 unidades designadas por Polegadas (Inches).
Os romanos adaptaram o Pé (Foot) dividido em 12 Polegadas (Inches) para medida de comprimento.
Para o sistema de pesos criaram a Onça (Oz) como a menor unidade. Depois:
- Num sistema: 16 Oz = 1 Poud (Libra)
- Noutro sistema: 1 Poud (Libra) = 12 Oz
NA IDADE MÉDIA
No obscurantismo da Idade Média quase todos os sistemas de medidas desapareceram ou não eram usados. Cada Cidade, Território ou Província usava as suas medidas com os conseqüentes erros, fraudes e enganos nos mercados.
No Século XIV os mercadores ingleses estabeleceram o seu sistema de pesos baseado na Libra (Lb) = 7.000 Grãos (Gr) = 16 Onças (Oz) que ainda hoje é empregue em muitos países de expressão inglesa.
No Século XV um outro sistema foi estabelecido: a Onça Troy (Oz troy) = 480 Grãos (Gr) = 12 Onças da Libra.
O SISTEMA MÉTRICO
A criação do Sistema Métrico Decimal foi um importante contributo da Revolução Francesa.
Baseia-se em múltiplos de 10.
A sua unidade básica é o Metro; inicialmente definido como a décima milionésima parte do comprimento do meridiano terrestre entre os paralelos de Dunkerque e Barcelona (cerca de 1/4).
Entre 1960 e 1983 foi redefinido como o comprimento de onda do isótopos 86 do Krypton; e em 1983 voltou a ser redefinido como o comprimento do percurso efetuado pela luz, no vácuo, em 1/299.792.458 segundos: medida que é reproduzível em laboratório.
Hoje, o sistema métrico decimal é universalmente aceite, incluindo o Reino Unido depois da adesão à União Européia.
Os Estados Unidos (USA) por inércia ou pela importância da sua economia ainda não sentiram a necessidade de adaptar este sistema.
Em 1960, a 10ª Conferência Internacional de Pesos e Medidas adotou o International System of Units (SI).
Este sistema é baseado em sete unidades de medida:
- O Metro para unidade de comprimento (m);
- O Kilograma para unidade de massa (kg);
- O Segundo para unidade de tempo (s);
- O Kelvin para unidade de temperatura termodinâmica (K);
- A Candela para unidade de intensidade luminosa ((cd);
- O Ampère como unidade elétrica (A);
- O Mole para a quantidade de substância (mol).
ORIGEM DOS SINAIS
ORIGEM DOS SINAIS
Adição ( + ) e subtração ( - )
O emprego regular do sinal + ( mais ) aparece na Aritmética Comercial de João Widman d'Eger publicada em Leipzig em 1489.
Entretanto, representavam não à adição ou à subtração ou aos números positivos ou negativos, mas aos excessos e aos déficit em problemas de negócio (Cajori vol. 1, página 128).
Os símbolos positivos e negativos vieram somente ter uso geral na Inglaterra depois que foram usados por Robert Recorde em 1557 .
Os símbolos positivos e negativos foram usados antes de aparecerem na escrita. Por exemplo: foram pintados em tambores para indicar se os tambores estavam cheios ou não
Os antigos matemáticos gregos, como se observa na obra de Diofanto, limitavam-se a indicar a adição juntapondo as parcelas - sistema que ainda hoje adotamos quando queremos indicar a soma de um número inteiro com uma fração. Como sinal de operação mais usavam os algebristas italianos a letra P, inicial da palavra latina plus
Multiplicação ( . ) e divisão ( : )
O sinal de X, como que indicamos a multiplicação, é relativamente moderno. O matemático inglês Guilherme Oughtred empregou-o pela primeira vez, no livro Clavis Matematicae publicado em 1631. Ainda nesse mesmo ano, Harriot, para indicar também o produto a efetuar, colocava um ponto entre os fatores.
Em 1637, Descartes já se limitava a escrever os fatores justapostos, indicando, desse modo abreviado, um produto qualquer. Na obra de Leibniz escontra-se o sinal para indicar multiplicação: esse mesmo símbolo colocado de modo inverso indicava a divisão.
O ponto foi introduzido como um símbolo para a multiplicação por G. W. Leibniz. Julho em 29, 1698, escreveu em uma carta a John Bernoulli: " eu não gosto de X como um símbolo para a multiplicação, porque é confundida facilmente com x; freqüentemente eu relaciono o produto entre duas quantidades por um ponto . Daí, ao designar a relação uso não um ponto mas dois pontos, que eu uso também para a divisão. "
As formas a/b e , indicando a divisão de a por b, são atribuídas aos árabes: Oughtred, e, 1631, colocava um ponto entre o dividendo o divisor.
A razão entre duas quantidades é indicada pelo sinal:, que apareceu em 1657 numa obra de Oughtred. O sinal , segundo Rouse Ball, resultou de uma combinação de dois sinais existentes - e :
Sinais de relação ( =, < e > )
Roberto Record, matemático inglês, terá sempre o seu nome apontado na história da Matemática por ter sido o primeiro a empregar o sinal = ( igual ) para indicar igualdade. No seu primeiro livro, publicado em 1540, Record colocava o símbolo entre duas expressões iguais; o sinal = ; constituído por dois pequenos traços paralelos, só apareceu em 1557. Comentam alguns autores que nos manuscritos da Idade Média o sinal = aparece como uma abreviatura da palavra est.
Guilherme Xulander, matemático alemão, indicava a igualdade , em fins do século XVI, por dois pequenos traços paralelos verticais; até então a palavra aequalis aparecia, por extenso, ligando os dois membros da igualdade.
Os sinais > ( maior que ) e < ( menor que ) são devidos a Thomaz Harriot, que muito contribuiu com seus trabalhos para o desenvolvimento da análise algébrica.
Adição ( + ) e subtração ( - )
O emprego regular do sinal + ( mais ) aparece na Aritmética Comercial de João Widman d'Eger publicada em Leipzig em 1489.
Entretanto, representavam não à adição ou à subtração ou aos números positivos ou negativos, mas aos excessos e aos déficit em problemas de negócio (Cajori vol. 1, página 128).
Os símbolos positivos e negativos vieram somente ter uso geral na Inglaterra depois que foram usados por Robert Recorde em 1557 .
Os símbolos positivos e negativos foram usados antes de aparecerem na escrita. Por exemplo: foram pintados em tambores para indicar se os tambores estavam cheios ou não
Os antigos matemáticos gregos, como se observa na obra de Diofanto, limitavam-se a indicar a adição juntapondo as parcelas - sistema que ainda hoje adotamos quando queremos indicar a soma de um número inteiro com uma fração. Como sinal de operação mais usavam os algebristas italianos a letra P, inicial da palavra latina plus
Multiplicação ( . ) e divisão ( : )
O sinal de X, como que indicamos a multiplicação, é relativamente moderno. O matemático inglês Guilherme Oughtred empregou-o pela primeira vez, no livro Clavis Matematicae publicado em 1631. Ainda nesse mesmo ano, Harriot, para indicar também o produto a efetuar, colocava um ponto entre os fatores.
Em 1637, Descartes já se limitava a escrever os fatores justapostos, indicando, desse modo abreviado, um produto qualquer. Na obra de Leibniz escontra-se o sinal para indicar multiplicação: esse mesmo símbolo colocado de modo inverso indicava a divisão.
O ponto foi introduzido como um símbolo para a multiplicação por G. W. Leibniz. Julho em 29, 1698, escreveu em uma carta a John Bernoulli: " eu não gosto de X como um símbolo para a multiplicação, porque é confundida facilmente com x; freqüentemente eu relaciono o produto entre duas quantidades por um ponto . Daí, ao designar a relação uso não um ponto mas dois pontos, que eu uso também para a divisão. "
As formas a/b e , indicando a divisão de a por b, são atribuídas aos árabes: Oughtred, e, 1631, colocava um ponto entre o dividendo o divisor.
A razão entre duas quantidades é indicada pelo sinal:, que apareceu em 1657 numa obra de Oughtred. O sinal , segundo Rouse Ball, resultou de uma combinação de dois sinais existentes - e :
Sinais de relação ( =, < e > )
Roberto Record, matemático inglês, terá sempre o seu nome apontado na história da Matemática por ter sido o primeiro a empregar o sinal = ( igual ) para indicar igualdade. No seu primeiro livro, publicado em 1540, Record colocava o símbolo entre duas expressões iguais; o sinal = ; constituído por dois pequenos traços paralelos, só apareceu em 1557. Comentam alguns autores que nos manuscritos da Idade Média o sinal = aparece como uma abreviatura da palavra est.
Guilherme Xulander, matemático alemão, indicava a igualdade , em fins do século XVI, por dois pequenos traços paralelos verticais; até então a palavra aequalis aparecia, por extenso, ligando os dois membros da igualdade.
Os sinais > ( maior que ) e < ( menor que ) são devidos a Thomaz Harriot, que muito contribuiu com seus trabalhos para o desenvolvimento da análise algébrica.
CHARADA DE EINSTEIN
Charada de Einstein
No final do século passado, Einstein propôs um problema que, segundo ele, 98% das pessoas não seriam capazes de resolver.
Há cinco casas de diferentes cores . Em cada casa mora uma pessoa de uma diferente nacionalidade. Os cinco proprietários bebem diferentes bebidas, fumam diferentes tipos de cigarros e têm diferentes animais de estimação. A questão é quem tem um peixe?
O inglês vive na casa vermelha.
O sueco tem cachorros.
O Dinamarquês bebe chã.
A casa verde fica à esquerda da casa branca.
O dono da casa verde bebe café.
O homem que fuma Pau Mali cria pássaros.
O dono da casa amarela fuma Dunhill.
O dono da casa do centro bebe leite.
O norueguês vive na primeira casa.
O homem que fuma Blends vive ao lado do que tem gatos.
O homem que cria cavalos vive ao lado do que fuma Dunhill.
O homem que fuma Bluemaster bebe cerveja.
O alemão fuma Prince.
O norueguês vive ao lado da casa azul.
O homem que fuma Blends é vizinho do que bebe água.
No final do século passado, Einstein propôs um problema que, segundo ele, 98% das pessoas não seriam capazes de resolver.
Há cinco casas de diferentes cores . Em cada casa mora uma pessoa de uma diferente nacionalidade. Os cinco proprietários bebem diferentes bebidas, fumam diferentes tipos de cigarros e têm diferentes animais de estimação. A questão é quem tem um peixe?
O inglês vive na casa vermelha.
O sueco tem cachorros.
O Dinamarquês bebe chã.
A casa verde fica à esquerda da casa branca.
O dono da casa verde bebe café.
O homem que fuma Pau Mali cria pássaros.
O dono da casa amarela fuma Dunhill.
O dono da casa do centro bebe leite.
O norueguês vive na primeira casa.
O homem que fuma Blends vive ao lado do que tem gatos.
O homem que cria cavalos vive ao lado do que fuma Dunhill.
O homem que fuma Bluemaster bebe cerveja.
O alemão fuma Prince.
O norueguês vive ao lado da casa azul.
O homem que fuma Blends é vizinho do que bebe água.
domingo, 23 de março de 2008
Roteiro da AB 9 ANO 1a. ETAPA
1. Estudando médias
2. Potência de um número real com expoente natural
3. Potência de um número real com expoente inteiro negativo
4. Transformando e simplificando uma expressão
5. Raiz enésima de um número real
6. Simplificando radicais: extração de fatores do radicando
7. Adicionando algebricamente dois ou mais radicais
8. Multiplicando e dividindo expressões com radicais de mesmo índice
9. Multiplicando e dividindo expressões com radicais de índices diferentes
10. Potenciação de uma expressão com radicais
11. Racionalizando denominadores de uma expressão fracionária
2. Potência de um número real com expoente natural
3. Potência de um número real com expoente inteiro negativo
4. Transformando e simplificando uma expressão
5. Raiz enésima de um número real
6. Simplificando radicais: extração de fatores do radicando
7. Adicionando algebricamente dois ou mais radicais
8. Multiplicando e dividindo expressões com radicais de mesmo índice
9. Multiplicando e dividindo expressões com radicais de índices diferentes
10. Potenciação de uma expressão com radicais
11. Racionalizando denominadores de uma expressão fracionária
Roteiro da AB 8 ANO 1a. etapa
1. Raiz quadrada exata de um número racional
2. Raiz quadrada aproximada de um número racional
3. Os números racionais e sua representação decimal
4. Os números reais
5. Expressões algébricas ou literais
6. Valor numérico de uma expressão algébrica
7. Monômio ou termo algébrico
8. Polinômios
9. Os produtos notáveis
10. Fatorando polinômios
2. Raiz quadrada aproximada de um número racional
3. Os números racionais e sua representação decimal
4. Os números reais
5. Expressões algébricas ou literais
6. Valor numérico de uma expressão algébrica
7. Monômio ou termo algébrico
8. Polinômios
9. Os produtos notáveis
10. Fatorando polinômios
Roteiro da AB 7 ANO 1a. ETAPA
1. Potência de um número racional
2. Propriedades da potenciação
3. Números quadrados perfeitos
4. Adição de números inteiros
5. Subtração de números inteiros
6. Adição algébrica
7. Multiplicação de números inteiros
8. Divisão de números inteiros
9. Potenciação de números inteiros
10. Raiz quadrada exata de números inteiros
11. Expressões numéricas
2. Propriedades da potenciação
3. Números quadrados perfeitos
4. Adição de números inteiros
5. Subtração de números inteiros
6. Adição algébrica
7. Multiplicação de números inteiros
8. Divisão de números inteiros
9. Potenciação de números inteiros
10. Raiz quadrada exata de números inteiros
11. Expressões numéricas
Roteiro da AB 6 ANO 1a. ETAPA
1. Operações fundamentais
2. Resolvendo problemas
3. Potenciação de números naturais
4. Noção de divisibilidade
5. Critérios de divisibilidade
6. Divisores,, fatores e múltiplos de um números natural
7. Números primos
8. Decomposição em fatores primos
9. Maximo divisor comum
10. Mínimo múltiplo comum
2. Resolvendo problemas
3. Potenciação de números naturais
4. Noção de divisibilidade
5. Critérios de divisibilidade
6. Divisores,, fatores e múltiplos de um números natural
7. Números primos
8. Decomposição em fatores primos
9. Maximo divisor comum
10. Mínimo múltiplo comum
MA 9 ANO
Exercícios de MA 9 ano
Página 13
Página 17
Página 28
Página 32
Páginas 36 e 37
Páginas 42 e 44
Páginas 46 e 51
Páginas 60 e 61
Página 64
Página 66
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Páginas 36 e 37
Páginas 42 e 44
Páginas 46 e 51
Páginas 60 e 61
Página 64
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MA 8 ANO
Exercícios de MA 8 ano
Páginas 14 e 15
Página 17
Página 20
Páginas 25 e 29
Página 31
Páginas 34 e 38
Páginas 41 e 42
Páginas 44 e 45
Página 47
Páginas 49 e 50
Páginas 14 e 15
Página 17
Página 20
Páginas 25 e 29
Página 31
Páginas 34 e 38
Páginas 41 e 42
Páginas 44 e 45
Página 47
Páginas 49 e 50
MA 7 ANO
Exercícios de MA 7 ano
Páginas 10 e 11
Página 16
Página 21
Páginas 24 e 27
Páginas 34 e 37
Página 40
Página 44
Páginas 53 e 54
Página 58
Páginas 62 e 63
Páginas 10 e 11
Página 16
Página 21
Páginas 24 e 27
Páginas 34 e 37
Página 40
Página 44
Páginas 53 e 54
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Páginas 62 e 63
MA 6 ANO
Exercícios de MA 6 ano
Páginas 19 e 20
Páginas 26 e 27
Página 39
Páginas 44 e 45
Página 48
Página 55
Páginas 68 e 69
Páginas 70 e 71
Página 72
Páginas 79 e 80
Páginas 19 e 20
Páginas 26 e 27
Página 39
Páginas 44 e 45
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Páginas 68 e 69
Páginas 70 e 71
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Páginas 79 e 80
quarta-feira, 12 de março de 2008
A verdadeira história da Fórmula de Bhaskara
As referências mais antigas sobre a resolução de problemas envolvendo equações do segundo grau foram encontradas em textos babilônicos escritos há cerca de 4 000 anos atrás.
Embora os babilônios tivessem conseguido resolver muitos problemas matemáticos envolvendo equações quadráticas, cada problema era resolvido para aquele caso particular e sua solução era uma espécie de receita prática, que não especificava nem a sua fórmula geral (se houvesse), nem o modo como a solução tinha sido obtida. Embora essas “receitas” , quando aplicadas a problemas do segundo grau, conduzissem de forma natural à dedução da fórmula de Bhaskara, os antigos babilônios não chegaram a generalizar tais “receitas”.
Na Grécia, as equações de segundo grau eram resolvidas por meio de construções geométricas como iremos ver num exercício que ilustra o método geométrico utilizado por Euclides para achar a solução da equação x2 = s2 - sx.
No século XII D.C., Bhaskara (1114-1185), em duas das suas obras, apresenta e resolve diversos problemas do segundo grau. Antes de Bhaskara, no princípio do século IX D.C., o matemático árabe Al-Kowarismi, influenciado pela álgebra geométrica dos gregos, resolveu, metodicamente, as equações do segundo grau, chegando à fórmula do modo descrito a seguir.
Al-Kowarismi interpretava, geometricamente, o lado esquerdo da equação x2 + px = q como sendo uma cruz constituída por um quadrado de lado x e por quatro rectângulos de lados p/4 e x. Então, como mostra a figura abaixo, “completava” esta cruz com os quatros quadrados pontilhados de lado p/4, para obter um “quadrado perfeito” de lado x + p/2..
Usando este artifício geométrico, Al-Kowarismi demonstrou que adicionando-se 4 vezes p2/16 , soma das áreas dos quatros quadrados de lado p/4 , ao lado esquerdo da equação x2 + px = q, obtinha-se (x + p/2)2, que é a área do quadrado de lado x + p/2 , isto é,x2 + px + 4 p2/16 = (x + p/2)2 .
Portanto, a equação x2 + px = q poderia ser escrita como (x + p/2)2 = q + p2/4 implicando que x = -p/2 ± , que é a fórmula de Bhaskara.
A descoberta de que um trinômio do segundo grau tem para imagem uma parábola, remonta à Antiguidade. As primeiras referências a respeito encontram-se nos trabalhos do matemático grego Menaecamus ( 375-325 A.C. ), que obteve a parábola seccionando um cone circular reto por um plano não paralelo à base. Pode-se provar que a curva assim obtida é a imagem de uma equação do tipo y = ax2, como mostra a figura abaixo.
Embora os babilônios tivessem conseguido resolver muitos problemas matemáticos envolvendo equações quadráticas, cada problema era resolvido para aquele caso particular e sua solução era uma espécie de receita prática, que não especificava nem a sua fórmula geral (se houvesse), nem o modo como a solução tinha sido obtida. Embora essas “receitas” , quando aplicadas a problemas do segundo grau, conduzissem de forma natural à dedução da fórmula de Bhaskara, os antigos babilônios não chegaram a generalizar tais “receitas”.
Na Grécia, as equações de segundo grau eram resolvidas por meio de construções geométricas como iremos ver num exercício que ilustra o método geométrico utilizado por Euclides para achar a solução da equação x2 = s2 - sx.
No século XII D.C., Bhaskara (1114-1185), em duas das suas obras, apresenta e resolve diversos problemas do segundo grau. Antes de Bhaskara, no princípio do século IX D.C., o matemático árabe Al-Kowarismi, influenciado pela álgebra geométrica dos gregos, resolveu, metodicamente, as equações do segundo grau, chegando à fórmula do modo descrito a seguir.
Al-Kowarismi interpretava, geometricamente, o lado esquerdo da equação x2 + px = q como sendo uma cruz constituída por um quadrado de lado x e por quatro rectângulos de lados p/4 e x. Então, como mostra a figura abaixo, “completava” esta cruz com os quatros quadrados pontilhados de lado p/4, para obter um “quadrado perfeito” de lado x + p/2..
Usando este artifício geométrico, Al-Kowarismi demonstrou que adicionando-se 4 vezes p2/16 , soma das áreas dos quatros quadrados de lado p/4 , ao lado esquerdo da equação x2 + px = q, obtinha-se (x + p/2)2, que é a área do quadrado de lado x + p/2 , isto é,x2 + px + 4 p2/16 = (x + p/2)2 .
Portanto, a equação x2 + px = q poderia ser escrita como (x + p/2)2 = q + p2/4 implicando que x = -p/2 ± , que é a fórmula de Bhaskara.
A descoberta de que um trinômio do segundo grau tem para imagem uma parábola, remonta à Antiguidade. As primeiras referências a respeito encontram-se nos trabalhos do matemático grego Menaecamus ( 375-325 A.C. ), que obteve a parábola seccionando um cone circular reto por um plano não paralelo à base. Pode-se provar que a curva assim obtida é a imagem de uma equação do tipo y = ax2, como mostra a figura abaixo.
Gauss:mais que um matemático
Karl Friedrich Gauss- o Gênio
Desde a idade média, tem-se conhecimento de Gauss, mas o que poucos sabem, é que Gauss foi muito mais do que uma matemático, aí vão alguns dados pessoais dele:
Nasceu a: 30 de abril de 1777, em Brunswich, na Alemanha.
Morreu a: 23 de Fevereiro de 1855, em Göttingen, na Alemanha.
Filho de um trabalhador à jorna, foi criado no seio de uma família pobre, austera e sem educação. Dadas às precárias condições econômicas da sua família, recebeu o precioso apoio do Duque de Brunswich que reconheceu nele uma criança-prodígio. Este apoio começou quando Gauss tinha 14 anos e permitiu-lhe dedicar-se exclusivamente aos estudos, durante 16 anos.
Ainda antes do seu vigésimo quinto aniversário, já Gauss era famoso pelo seu trabalho em Matemática e Astronomia. Aos 30 anos foi nomeado Diretor do Observatório de para Göttingen, cidade da qual raramente saiu, exceto por questões científicas. Aí, trabalhou durante 48 anos (de 1807 a 1855) até à sua morte, com quase 78 anos.
A vida pessoal de Gauss foi trágica e complicada. Um pai insensível, a morte prematura da sua primeira mulher, a pouca saúde da sua segunda mulher e uma terrível relação com os seus filhos negou-lhe, até tarde, a possibilidade de vida estável no seio de uma família equilibrada.
Mesmo com todos estes problemas, Gauss manteve uma rica, e espantosa atividade científica. A sua precoce paixão pelos números e cálculos estendeu-se à Teoria dos Números, à Álgebra, à Análise, à Geometria, à teoria das Probabilidades e à Teoria dos Erros. Ao mesmo tempo, levou em frente uma intensiva pesquisa empírica e teórica em muitos outros ramos, incluindo Astronomia Observacional, Mecânica Celeste, levantamento topográfico, Geodésica, Geomagnetismo, Eletromagnetismo e Mecanismos Ópticos.
Gauss não encontrou nenhum colaborador entre os seus colegas matemáticos tendo trabalhado sempre sozinho. Mas, se é verdade que o seu isolamento relativo, a sua compreensão das matemáticas “puras” e “aplicadas”, a sua preocupação com a astronomia e o uso freqüente que faz do latim têm a marca do século XVIII, é inegável que, nos seus trabalhos, se reflete o espírito de um novo período. Se, tal como os seus contemporâneos Kant, Goethe, Beethoven e Hegel, se manteve à margem das grandes lutas políticas da sua época, a verdade é que, no seu próprio campo, Gauss expressou as novas idéias da sua época de uma forma poderosíssima.
As suas publicações, a sua abundante correspondência, as suas notas, e os seus manuscritos mostram que ele possuía uma das maiores virtuosidades científico de todos os tempos.
Desde a idade média, tem-se conhecimento de Gauss, mas o que poucos sabem, é que Gauss foi muito mais do que uma matemático, aí vão alguns dados pessoais dele:
Nasceu a: 30 de abril de 1777, em Brunswich, na Alemanha.
Morreu a: 23 de Fevereiro de 1855, em Göttingen, na Alemanha.
Filho de um trabalhador à jorna, foi criado no seio de uma família pobre, austera e sem educação. Dadas às precárias condições econômicas da sua família, recebeu o precioso apoio do Duque de Brunswich que reconheceu nele uma criança-prodígio. Este apoio começou quando Gauss tinha 14 anos e permitiu-lhe dedicar-se exclusivamente aos estudos, durante 16 anos.
Ainda antes do seu vigésimo quinto aniversário, já Gauss era famoso pelo seu trabalho em Matemática e Astronomia. Aos 30 anos foi nomeado Diretor do Observatório de para Göttingen, cidade da qual raramente saiu, exceto por questões científicas. Aí, trabalhou durante 48 anos (de 1807 a 1855) até à sua morte, com quase 78 anos.
A vida pessoal de Gauss foi trágica e complicada. Um pai insensível, a morte prematura da sua primeira mulher, a pouca saúde da sua segunda mulher e uma terrível relação com os seus filhos negou-lhe, até tarde, a possibilidade de vida estável no seio de uma família equilibrada.
Mesmo com todos estes problemas, Gauss manteve uma rica, e espantosa atividade científica. A sua precoce paixão pelos números e cálculos estendeu-se à Teoria dos Números, à Álgebra, à Análise, à Geometria, à teoria das Probabilidades e à Teoria dos Erros. Ao mesmo tempo, levou em frente uma intensiva pesquisa empírica e teórica em muitos outros ramos, incluindo Astronomia Observacional, Mecânica Celeste, levantamento topográfico, Geodésica, Geomagnetismo, Eletromagnetismo e Mecanismos Ópticos.
Gauss não encontrou nenhum colaborador entre os seus colegas matemáticos tendo trabalhado sempre sozinho. Mas, se é verdade que o seu isolamento relativo, a sua compreensão das matemáticas “puras” e “aplicadas”, a sua preocupação com a astronomia e o uso freqüente que faz do latim têm a marca do século XVIII, é inegável que, nos seus trabalhos, se reflete o espírito de um novo período. Se, tal como os seus contemporâneos Kant, Goethe, Beethoven e Hegel, se manteve à margem das grandes lutas políticas da sua época, a verdade é que, no seu próprio campo, Gauss expressou as novas idéias da sua época de uma forma poderosíssima.
As suas publicações, a sua abundante correspondência, as suas notas, e os seus manuscritos mostram que ele possuía uma das maiores virtuosidades científico de todos os tempos.
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